Make your own free website on Tripod.com

אלגברה. 4,5 יחידות לימוד. כרך א': מערכת משוואות, פולינומים, גיאומטריה אנליטית. 1992

עריכה: ד"ר פאול כץ

Алгебра. 4 и 5 единиц обучения. Том 1: система уравнений, полиномы, аналитическая геометрия. Под редакцией д-ра Пауля Каца

(Примечание: том 2 не обнаружен)

1.Системы линейных уравнений

1.1. Стандартное представление системы линейных уравнений имеет вид как в нижеследующем примере:

3x + 2y = 7

x - y = -1

В стандартном описании неизвестные упорядочены, слагаемые с неизвестными записаны в левых частях уравнений, свободные члены - справа.

Решением такой системы является упорядоченная для х и у пара чисел, которая удовлетворяет уравнения системы. В приведенном выше примере это (х , у) = (1, 2). Т.е. х = 1, у = 2. Совокупность всех решений системы уравнений называется множеством истинности этой системы. Множество истинности обсуждаемого примера состоит из одного решения (1 , 2).

Возможны системы, где неизвестных больше чем уравнений. Например,

2x - y + z = -1

x - y - z = 4

В этом случае решений бесконечно много, например, (0, 1.5, -2.5), (1, 0, -3) и т. д. Для получения одного частного решения достаточно придать одному из неизвестных произвольное значение и решить систему уже с двумя неизвестными. Или - получить общее выражение решения, где два неизвестных будут определяться через третье (в примере через z) :

(x , y , z) = (-5 - 2z , -9 - 3z , z) .

Для каждого произвольного значения z здесь получается новое решение системы, принадлежащее ее множеству истинности. Решение системы не изменится, если ввести другие обозначения неизвестных. Например, решением системы

3u + 2v = 7

u - v = -1

будет также (1 , 2) = (u , v ).

Это означает, что решение системы зависит только от коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы. Перепишем эти коэффициенты и свободные члены в виде прямоугольной матрицы размером 2*3 (две строки, три столбца) :

3 2 7

1 -1 -1

В первом столбце матрицы находятся коэффициенты при первом неизвестном (х), во втором - коэффициенты при втором неизвестном (у), а в третьем - свободные члены. Следующая матрица размером 2*4 описывает систему из двух уравнений с тремя неизвестными :

2 -1 1 -1

1 -1 -1 4

Т.о. при описании систем линейных уравнений можно пользоваться матрицами. В этом случае мы имеем дело с описанием систем линейных уравнений посредством матриц.

 

1.2. Решение системы линейных уравнений осуществляется с помощью эквивалентных преобразований, не изменяющих ее множества истинности. Такого рода элементарные действия над матрицами коэффициентов позволяют приводить их к более простой форме (подобно тому как это делалось уже при решении систем методом исключения переменных). К числу элементарных действий относятся:

1). Перемена местоположения строк.

2). Умножение элементов строки на число, отличное от нуля.

3). Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой, умноженных на некоторый постоянный множитель.

Все эти действия преобразуют заданную систему к системе, которая равносильна

 

(эквивалентна) заданной.

Теперь займемся решением систем линейных уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных. Следует научиться преобразовывать заданную систему к виду более простому, из которого можно сразу получить решение. В случае трех уравнений с тремя неизвестными необходимо приведение исходной матрицы к виду:

a 0 0 u

0 b 0 v

0 0 c w

Т.е. к виду

ax = u

by = v

cz = w

И если a, b и c - все отличны от нуля, то единственное решение системы есть (u/a, v/b, w/c).

Совокупность столбцов при неизвестных в обсуждаемой матрице

a 0 0

0 b 0

0 0 c

именуется диагональной матрицей.

Если a = b = c = 1, то решением системы будет (u, v, w) .

Пример 1.

(s1) 2 0 0 3 2 0 0 3 (s1/2) 1 0 0 1.5

(s2) -4 3 0 -3 (s2+s1) 0 3 0 3 (s2/3) 0 1 0 1

(s3) 6 0 2 5 (s3 - 3s1) 0 0 2 -4 (s3/2) 0 0 1 -2

Единственное решение (1.5 , 1 , -2).

Пример 2. Последовательные преобразования матрицы. Занимаются сперва первым столбцом, затем по порядку вторым и третьим :

2 6 4 7 2 6 4 7 2 0 0 3 2 0 0 3 1 0 0 1.5

4 9 6 12 0 -3 -2 -2 0 -3 -2 -2 0 -3 0 -3 0 1 0 1

6 30 18 30 0 12 6 9 0 0 -2 1 0 0 -2 1 0 0 1 -0.5

Решение (1.5 , 1 , -0.5)

1.3. Упражнения.

1). Приведи к стандартному виду нижеследующие системы уравнений:

a. x = 2y - 5 b. x + 1 = z c. 2(x - y) - 3z = -3(y - x)

3x - y = 7 - 2(1 - 3x) 1 - 2x = -(y - 2x) - z 1 - (2z - y)/2 = -3(y - x)

5 = - y

d. (x - w)/3 = z - 1 e. (x - 2y)/5 - (x - y)/3 = 2x d. z - 2(y - x)/9 - = (z - 2x)/6

x - z = w 3y = 2(x - y) -(z - 2x)/6 + z = y - 3(x - 4)/4 - 2y

w - 1 = 2(x - y + 1) 5 = 4y (z - x)/2 = 1 - (x - y)/3

z - w = -4(x - y) - 1

2). Выбери по своему желанию имена переменных и запиши системы линейных уравнений, соответствующих следующим матрицам:

a. 5 -3 2 b. -1 2 3 0 c. 5 -3 0 13 d. 2 1 1 1

4 1 0 0 5 2 -1 4 0 -7 1 0 -2 0 3

3 2 -1 0 5 4 23 -7

3). Перед тобой системы линейных уравнений, записанные в виде матриц. Ниже записаны решения этих систем в произвольном порядке. Найди, какой из систем

соответствуют приведенные решения. Возможно ли найти с помощью догадки или любым другим путем дополнительное решение для каждой из систем?

a. 2 0 -1 0 b. 1 -1 2 -1 c. 0 1 -2 3 d. 1 2 3 1

2 1 -3 5 1 -1 0 1 1 2 0 3 0 0 2 2

{ (0 , -1 , 1) , (1 , -1 , 2) , (1 , 1, -1) , (2 , 1 , -1) }

4). Выполни для каждой из матриц требуемые элементарные действия.

a. 2 1 3 -4 b. 1 -2 3 (s1 + 2s3) c. -2 4 3 -1

1 -2 4 3 (-2s2) -4 5 -1 2 0 -1 3 (s2 - 3s1)

2 -3 0 -1 2 -3 0

 

d. 2 1 3 -4 (s1 - 2s2)

1 4 3 1 (s2 - 2s1)

2 3 6 -1 (s3 - s1)

e. a -b a (s1 - s2) f. -b -a a-b (s1 - 2s2)

a-b b-a b -(a-b) b -a+b (s2 - 2s1)

a-2b -2b b-a (-2s3) a-b b-a a+2b - s3

5. В каждой из пар матриц осуществлены элементарные действия. Определи - какие.

a. 1 2 -4 3 1 2 -4 3 b. 3 1 2 5 0 3 c.1 2 3 -4 3 1 6 -4

2 0 -1 2 2 0 -1 2 -1 2 4 -1 2 4 2 -1 3 0 2 -1 3 0

1 3 -2 4 -2 -3 10 -5 5 0 3 3 1 2 4 5 2 1 4 5 2 1

-1 2 -1 -1 2 -1

d. 1 0 2 -4 1 0 2 -4 e. 1 2 3 -1 1 2 3 -1

3 5 -2 1 5 5 2 -7 2 3 0 1 0 -1 -6 3

0 4 -1 2 0 -8 2 -4

6. С помощью элементарных действий преобразуй одну матрицу во вторую:

a. 3 2 5 3 2 5 b. 1 2 3 4 1 0 * *

1 2 1 0 * * 2 3 1 0 0 1 * *

6 -1 3 0 * * 1 3 2 -1 0 0 * *

c. 2 3 4 -1 0 1 0 * * * d. 2 -4 1 4 1 0 0 *

1 2 0 -3 -1 0 1 * * * 3 -1 -2 -1 0 1 0 *

3 0 1 -2 -1 0 0 * * * -2 3 4 6 0 0 1 *

7. Докажи, что у всех заданных ниже систем уравнений одно и то же множество истинности. Подбери или найди любым другим способом одно решение и обоснуй истинность этого утверждения.

a. 2x - y + 3z = 4 b. 2x - y + 3z = 4 c. 3x - y + z = 1

x - 2z = -3 -2x + 4z = 6 x - 2z = -3

d. - y + 7z = 10 e. x = 2z - 3

-2x + 4z = 6 y = -16 - 2x + 11z

8. Реши системы уравнений:

a. 2x = 2 b. 2x = -3 c. 2x + 3y = 8 d. 3y + 2z = 3

4x - y = 2 -8x + 3y = 9 -3x + 2y = 1 -9y + 5z = -9

-6x + z = -10 4x - y + 5z = 5 2x + 3y + z = 0

e. 2x - 2y + 3z = -1 f. -4x + y - 3z = 6 g. -4x + 3y = -2 h. x/2 - y/12 = 4

3x - 4z = 13 3x - 2y + z = -5 3x - 2y = 1 -3x/8 + y/12 = -2

-5x + 3y = -9 x - 2z = -1

i. 2x - 3y + z = 7 j. 5x + 7y + 3z = 5 k. 2x - z + w = 0

-3x + 6y + 5z = 1 4x - 2y - 7z = 17 y - 2w = -1

5x + 9y - 3z = -10 -3x + 5y + 4z = -2 x - 3y + w = 4

- y - 3z + 5w = -5

l. x - 2y + 3z - w = 1 m. 2x - y + 3z - w = -9

2x - 3y + z = -1 x - 3y + 2w = 1

4x + y - 2w = 2 2y - 4z + w = 15

3y - z + 4w = 4 -3x + 5z + 3w = -4

9. Сумма трех чисел равна 16. Сумма двух первых чисел меньше на 2 половины третьего числа. Сумма второго и третьего чисел меньше на 4 первого числа. Какие это числа?

10. Сумма цифр трехзначного числа равна 12. Если отнять от него число, составленное из тех же цифр, записанных в обратном порядке, то получится 693. Если добавить единицу к каждой цифре исходного числа, то получится, что сумма цифр единиц и десятков составит 2/3 от цифры сотен. Какое это число?

11. Сумма трех чисел равна 10. Если к первому числу дважды прибавить второе и трижды третье, то получится 17. Если сложить первое и третье числа, умножить результат на 2 и трижды добавить второе число, то получится 23. Какие это числа?

12.В лавке имеется 3 бочки. Емкость первой бочки равна емкости второй плюс 20% емкости третьей. Емкость второй бочки равна емкости первой минус треть собственного объема. Общий объем трех бочек составляет 1440 литров. Какова

емкость каждой бочки?

 

13. В лаборатории имеется три сосуда. Два из них наполнены, а третий пуст. Первый сосуд содержит кислоту 5% концентрации, а второй содержит 20% кислоту. Если в третий сосуд перелить 1/3 содержимого первого сосуда и 1/4 содержимого второго сосуда, то он будет заполнен 10% кислотой. Какова емкость каждого сосуда, если их общий объем составляет 1300 литров?

14. Даны три различных отрезка. Длина второго отрезка на 40 см меньше суммы длин первого и третьего отрезков. Половина суммы длин двух первых отрезков равна четверти суммарной длины всех трех отрезков. Длина второго отрезка меньше на 5 см средней длины двух других отрезков. Какова длина каждого отрезка?

15. Гад, Дан и Рам играли в фишки. В первой игре Гад выиграл 1/6 фишек Рама и 1/5 фишек Дана. Во второй игре Рам выиграл 15 фишек у Гада и 1/6 фишек, оставшихся к этому времени у Дана. По завершении двух игр выяснилось, что у Гада осталось всего 15 фишек, Рам выиграл 15 фишек, а Дан проиграл 10 фишек. Сколько фишек было у каждого в начале игры?

16. Мастер, рабочий и ученик получили задание. Мастер и рабочий вместе выполнят его за 12 дней. Мастер с учеником выполнят задание за 15 дней, а рабочий с учеником - за 20 дней. За сколько дней каждый из них по-отдельности справится с заданием?

17. Кран А и кран В вместе наполняют бассейн за 2 часа. Кран В вместе с краном С наполняют бассейн за 3 часа 45 минут. А все три крана вмесе наполняют бассейн за 1 час 40 минут. Сколько времени потребуется каждому крану по-отдельности для заполнения бассейна?

18. Периметр треугольника составляет 180 см. Первая сторона короче третьей на 20 см, а вторая короче третьей на 10 см. Определить размеры сторон треугольника.

19. У Дана, Рана и Гиоры вместе есть 30 шекелей. Если Ран отдаст Дану 2 шекеля, то у Дана и Гиоры окажутся одинаковые суммы денег. Если Дан и Гиора дадут каждый по шекелю Рану, то у него окажется денег вдвое больше, чем у Гиоры. Сколько денег есть у каждого?

20. Из провода длиной 92 см построили каркас прямоугольного паралелепипеда. Периметры двух его граней 26 и 36 см. Найти размеры параллелепипеда.

 

1.4. Система с несколькими неизвестными может состоять из одного уравнения. Например, 4x + 2y + 3z = 12

Число решений такого уравнения бесконечно. Если придать двум из трех неизвестных произвольные значения, например, y = 3, z = 4, то получим значение х = 2/3 . Т.о. одно из решений нашей системы из одного уравнения есть (2/3 , 3 , 4). А для записи совокупности решений в общем виде обозначим произвольное значение у через r , а произвольное значение z через s. Тогда решение системы в общей форме(множество истинности) выглядит так ( (12 - 2r - 3s)/4 , r , s). Или более строго :

{ (12 - 2r - 3s)/4 , r , s) | r , s - произвольные вещественные числа }

Такая форма представления множества истинности именуется параметрической.

Придавая r и s различные значения, мы будем получать различные частные решения системы. Например, (5/4 , 2 , 1) , (0 , 0, 4) и т.д.

В некоторых случаях полезно придавать параметрам множества истинности более сложный вид. Например, пусть r = u + v , s = u - v . Тогда выражение множества истинности примет вид

{ (12 - 5u - v)/4 , u + v , u - v) | u , v - произвольные вещественные числа }

И конечно можно записывать множество истинности в виде выражения, в котором х и у сами обозначают параметры общего решения:

{ (12 - 2y - 3z)/4 , y , z) | y , z - произвольные вещественные числа }

1.4.1. Упражнения

21. Получи общее решение каждого из следующих уравнений: a. 2x - y = 3; b.4x=(y-2)/5; c. 3x - y + 2z = 6; d.4x + 0y - 5z = 3; e. (x - 2y)/3 = -(x - 3y + z) + 4 .

22. а. Реши уравнение 2x - 3y = 6 c помощью подстановки r вместо x. b. Реши то же уравнение c помощью подстановки t вместо y. c. Реши то же уравнение c помощью подстановки k-1 вместо x. d. Пусть r = 2(из задачи а.); найди

 

значения t и k (из задач b., c.), которые дают тот же элемент множества истинности. e. Пусть k = 13(из задачи с.); найди значения t и r (из задач a. , b.), которые дают тот же элемент множества истинности.

23. а. Реши уравнение 2x - 3y + 4z = 12 c помощью подстановки r и s вместо x и у соответственно. b. Реши то же уравнение c помощью подстановки k+1 и l вместо y и z соответственно. c. Пусть r = 2 и s = -3 ; найди значения k и l , которые дают тот же элемент множества истинности.

 

1.5. Решение систем уравнений с помощью параметров.

Дана система из двух уравнений с тремя неизвестными :

x + y + z = 5

x - y + 3z = 7

Приведем левую часть матрицы системы(два столбца) к диагональному виду :

1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 5 (s1+s2) 1 0 2 6

1 -1 3 7 (s2-s1) 0 -2 2 2 (s2/2) 0 -1 1 1 (-s2) 0 1 -1 -1

Система, соответствующая виду последней матрицы, выглядит так :

x + 2z = 6 x = 6 - 2z

y - z = -1 y = -1 + z

И общее решение системы (обозначим z через t) будет таким :

{ (6 - 2t , t - 1 , t) | t - произвольное вещественное число }

Аналогично решается задача в случае любого превышения числа неизвестных над числом уравнений. Например:

x - 3y + 4z + w = 7 1 -3 4 1 7 1 -1 2 0 5

2x + 4y - 2z - 3w = 4 2 4 -2 -3 4 0 -2 2 1 2 ( Действия : s2 - 2s1; s2/5; s1 -s2).

К диагональному виду приведены первая и четвертая колонки. Поэтому в качестве параметров будем использовать y = t и z = r . Отсюда - общее решение :

{(t - 2r + 5, t , r , 2t - 2r + 2) | t ,r - произвольные вещественные числа } , или

x = t - 2r + 5 ; y = t ; z = r ; w = 2t - 2r + 2 .

При решении систем линейных уравнений возможны особые случаи.

Дана система

2x - 3y + z = 5 2 -3 1 5 2 -3 1 5

4x - 6y + 2z = 7 4 -6 2 7 (s2 - 2s1) 0 0 0 -3

Система в обычной записи приведена к виду

2x - 3y + z = 5

0x + 0y + 0z = -3

Отсюда следует, что множество истинности для второго уравнения - пустое ( 0 = -3 !!!), значит и множество истинности всей системы также пустое: не существует ни одного решения, которое удовлетворяло бы данную систему.

Пусть теперь дана система

2x - 3y + z = 5 2 -3 1 5 2 -3 1 5

4x - 6y + 2z = 10 4 -6 2 10 (s2 - 2s1) 0 0 0 0

Система в обычной записи приведена к виду

2x - 3y + z = 5

0x + 0y + 0z = 0

Множество истинности второго уравнения содержит любые тройки чисел. Отсюда следует, что система, равносильная исходной, состоит из одного - первого - уравнения. Множество истинности такой системы можно представить , например, в таком виде:

{( t , r , -2t + 3r + 5) | t ,r - произвольные вещественные числа } .

Т.о. для систем, у которых число неизвестных превышает число уравнений, возможно а) бесконечное количество решений , множество истиности такой системы представляется в параметрической форме; б) отсутствие какого-либо решение, множество истиности такой системы является пустым. В любом случае у таких систем не может быть единственного решения.

А что если задана система, в которой уравнений больше чем неизвестных? И здесь можно пользоваться рассмотренными выше алгоритмами. Пусь , например, дана система :

x - 2y = -3 1 -2 -3 1 -2 -3 (S1 - 2S2) 1 0 1

-2x + 3y = 4 -2 3 4 (S2 + 2S1) 0 -1 -2 0 -1 -2

3x - 5y = -7 3 -5 -7 (S3 - 3S1) 0 1 2 (S3 + S2) 0 0 0

Т.е. заданная система равносильна системе, описываемой матрицей

1 0 -1

0 -1 -2

И ее решением будет (-1 , 2).

Можно показать, что система, у которой число неизвестных меньше числа уравнений, имеет единственное решение только в том случае, если она описанными выше преобразованиями сводится к диагональной матрице и при этом лишние строки заполняются нулями. Например, (6 , 7 , 8) есть решение системы, равносильной следующей матрице:

1 0 0 6

0 1 0 7

0 0 1 8

0 0 0 0

0 0 0 0

Но если получена равносильная матрица следующего вида

1 0 0 6

0 1 0 7

0 0 1 8

0 0 0 9

то у такой системы вообще отсутствует решение.

1.5.1. Упражнения

24. Найти общее решение следующих систем уравнений

a. x - 2y + z = 3 b. 3x - 5y + 2z = 0 c. x - 3z = 5 d. x + 0y + 3z = -5

2x - y + 4z = -6 2x - 3y + z = -7 2x - y = 7 2x + 0y - 2z = 3

e. 0x + 2y - z = 4 f. x - 3y + 4z - w = 5 g. 2x - y + 3z - 2w = 0

0x - 0y - 4z = 6 3x - 2z + 4w = -1 x + 2y - 3z - w = 5

h. 2x + 0y + z + 0w = 4 i. x - 2y + z - w = 1 j. - y + 4z + w = -3

3x + 0y - 2z + 5w = -2 2x - y + 2z = 0 2x + 3y - z = 4

x + 2w = 3 4x - 3z - w = 1

k. x - 3y + z = 4 l. 2x - 3y = 4 m. -x + 5y = 7

2x + 5y - 3z = -1 x - 5y = 6 2x - y = 2

4x - y - z = 5 3x - 8y = 10 3x + y = 3

25. Двузначное число равно удвоенной сумме его цифр. Какое это число?

26. а. Периметр прямоугольника втрое больше его наибольшей стороны А. Известно также, что А есть целое число см и А < 4. Чему равно А? b. Периметр прямоугольника втрое больше его наибольшей стороны . Каковы размеры его сторон? Каким будет решение, если известно, что длина одной из сторон равна 10 см ?

27. а. Половина суммы двух натуральных чисел, каждое из которых меньше 5, равна произведению одного из них на 2. Найди эти числа. b. Сумма двух чисел равна произведению одного из них на 2. Найди эти числа. Пусть одно из чисел равно 30, каким будет второе число?

28. а. Разница двух однозначных чисел равна половине их суммы. Сколько решений есть у этой задачи? b. Разница двух чисел равна половине их суммы. Найди эти числа. Пусть одно из чисел равно -5, каким будет второе число?

29. Цена двух книг и трех тетрадок равна цене одной книги и десяти тетрадок. а. Какова цена книги и какова цена тетради ? b. Во сколько раз книга дороже тетрадки?

30. В кассе находится всего 20 ассигнаций достоинством 10, 50 и 100 шекелей. Всего в кассе 680 шекелей. Сколько ассигнаций каждого вида есть в кассе ?

31. Расстояние между городами составляет а км . Две машины в одно время выезжают из этих городов навстречу со скоростью, соответственно, 60 км/ч и 80 км/ч. а. Через какое время они встретятся? b. Покажи, что время езды до встречи находится в прямой зависимости от расстояния между городами.

 

32. Расстояние между двумя городам составляет а км . Две машины из этих городов выезжают навстречу друг другу. Одна из них стартует на к часов позже второй. Скорость первой машины 70 км/ч , а второй - 80 км/ч. а. Через какое время они встретятся? b. Находится ли это время в прямой зависимости от расстояния между городами.

33. Сумма трех однозначных чисел равна 21. Сумма произведений первого числа на 2, второго - на 3 и третьего на 4 равняется 67. Найти эти числа.

34. Половина суммы трех чисел равна сумме двух первых, а треть суммы трех чисел равна сумме второго и третьего. Найти множество истинности для этих трех чисел.

35. Возраст отца равен сумме возрастов двух его сыновей. Разница в возрасте детей равна 1/8 возраста отца. Можно ли найти сколько лет отцу и каждому его сыну?

 

1.6. Дополнительные упражнения

36. Реши следующие системы уравнений :

а. 3x + 4y = -1 b. x/5 - y/6 = 0 c. 3x + 4y + z = 20 d. x + 2y + 5z = 4

2x + 9y = -16 x/10 +y/12 = 2 2x + 2y + 3z = 16 3x - 2y = -3

4x + y + z = 13 5x - 4y + 10z = -4

e. x - y + z = 3 f. x - y + z = 2 g. x + y + 3z = 12

4x + 8y - z = 0 2x - y + z = 3 3x - 5y + 9z = 32

2x + 2y - z = -2 3x + 2y - z = 4 2x - 7y = 0

h. x - y + z = 2 i. x + y + z + w = 0 j. x + y + z + w = 6

2x - y + z + 3w = 3 2x + 2y + 3z + 2w = 2 2x + 2y + z + w = 7

3x + 2y - z + w = 4 3x + 2y + 2z + 2w = 1 y + 2w = 7

x + y = 3 2x + z - w = 6 x + 4z = 8

37. С матрицей А осуществлены элементарные действия и получена матрица В :

1 3 2 1 3 2 (s1 + s3) -1 -4 3

А = 4 -1 0 (s2 + s1) 6 5 4 (s2 + 2s3) 2 -9 6 = B

1 2 7 (s3 - 3s1) -2 -7 1 -2 -7 1

Обозначим строки в обеих матрицах :

a а

А = b В = b

g с

Покажи, что :

a = g - 2a

b = 2g - 4a + b

c = g - 3a

38.Перед тобой две матрицы А и В. а.Найди действия, превратившие А в В.

2 3 4 2 3 4 8 19 14

А = -1 2 -3 3 8 5 3 8 5 = B

0 1 2 0 2 4 3 10 9

b.Вырази строки В посредством строк А. с.Вырази строки А посредством строк В.

(Указание : найди действия, которые превратят В в А .)

39. Перед тобой две матрицы:

1 2 1 4 1 0 0 1

А = 2 1 0 4 В = 0 1 0 2

3 1 -1 6 0 0 1 -1

a.Вырази строки В посредством строк А. b.Вырази строки А посредством строк В.

с.Докажи, что система уравнений, соответствующая матрице А, равносильна системе, которая соответствует матрице В.

40. Перед тобой две равносильные (проверь!) системы уравнений :

2x + 3y = 1 x = 2

(I) 3x - 2y = 8 (II) y = -1

a. Вырази строки матрицы системы II посредством строк матрицы системы I.

a. Вырази строки матрицы системы I посредством строк матрицы системы II.

41. Даны две матрицы:

a 1 -1 2 5 а 4 -1 3 10

А = b = 2 1 -1 0 В = b = 6 -2 3 12

g 3 -2 2 7 с 0 7 -7 -14

а. Покажи , что выполняется а 2a + b

b = a + b + g

с 3b - 2g

b. Докажи (не решая системы), что система уравнений, соответствующая матрице А, равносильна системе, которая соответствует матрице В. (Указание : перейди с помощью элементарных действий от матрицы В к матрице А .)

42. Когда-то пассажир, который ехал из Иерусалима в Абу-Гош и из Иерусалима в Артов, платил за обе поездки 14 шекелей. Если же он совершал поездку Иерусалим - Артов и один раз катался на городском автобусе внутри Иерусалима, то платил 11 шекелей. Поездка же по городу плюс из города в Абу-Гош обходилась в 7 шекелей. Сколько стоила каждая упомянутая поездка?

43.Произведение возраста старшего сына на 5 больше утроенного возраста среднего сына на 13 лет. Произведение возраста среднего сына на 4 больше на 2 года, чем произведение числа 7 на возраст младшего сына. Произведение возраста младшего сына на 11 превышает на два года возраст первенца, умноженный на 4. Сколько лет каждому из сыновей?

44. Определи общие решения следующих систем уравнений :

a. 3x - 5z = 7 b. -2x + 3y = 5

-6x + 10z = 14 6x - 9y = 15

c. 3x - 2y + 4z = 5 d. x - 4y + z = 5

x - y + 3z = 4 2x - y - 2z = 3

5x - 4y + 10z = 13 3x - 5y - z = 10

e. x - 2y + 3z = 3 f. x - 2y + 3z = 1 g. x - z + w = -1

x - z = 1 2x - y + z = 3 2x - 3z + 2w = -4

2x - 3y = 5 x + y - 2z = 2 x - w = 1

x + y + z = 0 2x - y + 3z = 5 3x - z + w = -1

45.Дан получил четверть марок Рона и треть марок Гада. Всего же Дан получил 5 марок. Сколько марок было прежде у Рона и у Гада. Сколько у задачи решений?

46. Дан выиграл 2/3 орехов, которые были у Гада, и половину орехов Рона и проиграл Рану количество орехов, равное четверти орехов Рана. Всего Дан выиграл 7 орехов. Сколько орехов было сначала у каждого из товарищей Дана.

47. В моем кармене были только монеты в 5 и 10 шекелей. За книжки я заплатил треть всех моих монет по 10 шекелей, а за тетрадки четветь монет в 10 шекелей и половину монет в 5 шекелей. И осталось у меня всего 45 шекелей. Сколько монет каждого вида было у меня? Сколько решений у задачи?

48. У меня есть 840 шекелей ассигнациями по 10 , 50 и 100 шекелей. Всего ассигнаций 20. Сколько ассигнаций каждого вида есть у меня?

49. а. Когда-то я купил 3 артика и осталось у меня 5 агарот. А у товарища денег было вдвое больше, он купил 6 артиков и у него осталось 5 агарот. Сколько стоил один артик? b. Каким будет решение задачи, если у товарища осталось 10 агарот?

50. Разница между трехзначным числом и тем же числом, прочитанным наоборот, составляет 297. Сумма цифр числа равна 10. Какое это число?

51. Дневная выручка продавца составила 278 шекелей и состояла из 20 ассигнаций в 5 , 10 и 50 шекелей. После сдачи в банк всех ассигнаций в 50 шекелей и половины остальных ассигнаций на руках у продавца осталось 64 шекеля. Из скольки ассигнаций каждого вида состояла выручка? Намек : внимательно рассмотри уравнения перед началом решения задачи.

52. Даны три прямых y=3x+5, y=2x-5, y=-5x+1.Пересекаются ли они в одной точке?

53. Даны три прямых y = -2x + 3, y = 5x - 7, y = 2x/3 - 2. Пересекаются ли они в одной точке?

54. Находятся ли на одной прямой точки (2 , 1) , (1 , 0) , (-2 , -1) ?

 

2. Разложение на множители (теория и применения)

2.1. Введение

Разложение на множители есть представление числа или алгебраического выражения в виде произведения сомножителей. Например, 36 = 334 (или 2233) или 3х+15 = 3(х+5).

Пример. Что можно сказать о значениях выражения (3х+15)/(х+5)?

Решение. Для всех значений х , кроме х = -5, где выражение не существует, (3х+15)/(х+5) = 3(х+5)/(х+5) = 3.

В противоположность простым и ясным законам раскрытия скобок разложение на множители намного сложнее и оно подчас достижимо только с помощью озарения и догадки. Вместе с тем существует несколько правил, помогающих в деле разложения на множители.

2.2. Вынесение множителя за скобки

Упражнение. Разложи на множители выражение 3ху + 6х.

Решение. 3ху + 6х = 3х(у + 2) для всех х и всех у.

Упражнение. Заверши разложение на множители выражения 2 + 2х)(х + 3).

Решение. (х2 + 2х)(х + 3) = х(х + 2)(х + 3).

Упражнение. Разложи на множители выражение -5х2 +15х.

Варианты решений. а) 5х(-х + 3); б) -5х(х - 3); в) 2.5х(-2х + 6).

Примечание. Разложение -5х2 +15х = 5х3(-1/х + 3/х2) верно только в области допустимых значений в обеих частях данного равенства, т.е. для всех х 0.

Соглашение. Два выражения считаются равнозначными, если при любой допустимой подстановке значений переменных в оба выражения получаются те же числовые значения.

2.3. Разложение выражения А2 - В2

Равенство А2 - В2 = (А + В)(А - В) легко доказывается раскрытием скобок.

Примеры. 1) 4х2 - 9 = (2х - 3)(2х + 3); 2) 25а2 - 1 = (5а - 1)(5а + 1);

3) mn2/4 - m/9 = m(n/2 - 1/3)( n/2 + 1/3); 4) (3b - 5)2 - (3b + 5)2 = -60b.

2.4. Применения разложения на множители

а) Упрощение выражений.

Пример. (36х2 - 49)/(6х+7) = (6х - 7)(6х + 7)/(6х + 7) = 6х - 7, если 6х + 7 0, т.е. когда {x | x -7/6}.

б) Доказательство математических утверждений.

Пример. Докажи, что n3 - n делится на 3 без остатка для любого целого n.

Доказательство. n3 - n = n(n - 1)(n + 1). Для любого целого n имеем произведение трех последовательных чисел, одно из которых обязательно делится на 3.

Упражнение. Докажи , что n3 - n делится на 6 без остатка для любого целого n.

Доказательство.Деление на три доказано выше. И хотя бы один из трех сомножителей - последовательных чисел - будет четным.

в) Решение уравнений.

Пример. х5 - 9х = 0 .

Решение. х5 - 9х = х(х - 3) (х + 3)(х2 + 3) = 0 ;

Любая подстановка, обращающая один из сомножителей в ноль, обращает в ноль также и все выражение. Значит, возможны : х = 0, х - 3 = 0, х + 3 = 0 , х2 + 3 = 0 .

Множество истинности исходного уравнения есть (0, 3, -3). (Множество истинности уравнения х2 + 3 = 0 является пустым, т.к. х2 + 3 > 0 для всех х).

Нам известно, что множество истинности уранения первой степени ах + b = 0 для а 0 есть {-b/a} .

Множество истинности уранения второй степени ax2 + bx + c = 0, a 0 , d = b2 - 4ac 0 есть {(-b + d)/2a , (-b - d)/2a} .

Существуют общие формулы для множества истинности подобных уравнений третьей и четвертой степени, но указанные решения выходят за рамки изучаемого курса. Для уравнений более высоких степеней действует неожиданное правило: невозможно найти общее выражение множества истиности уравнений, степень которых больше 4.

Итак, нет общего решения, но некоторые уравнения, вроде х5 - 9х = 0 (см. пример выше), допускают нахождение множества истинности с помощью разложения на множители.

 

2.5. Полиномы

Алгебраическое выражение вида P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x +a0 называется полиномом от переменной х . В нем числа an , an-1, ... a1, a0 именуются коэффициентами полинома( некоторые из них могут равняться нулю), а n (an 0) есть степень полинома.

Пример. 3х5 + 4х3 + 2х - 5 есть полином пятой степени и его коэффициенты а5 = 3, а4 = 0, а3 = 4, а2 = 0, а1 = 2 и а0 = -5.

Два полинома Р(х) и Q(x) равны между собой, когда их соответствующие коэффициенты равны.

Над полиномами могут совершаться действия сложения, вычитания и умножения. Результатом таких действий всегда является - полином.

Над двумя полиномами также может совершаться действие деления. Это действие напоминает деление двух целых чисел до получения целого частного и целого же остатка от деления. Например, а = 10, с = -7 , частное от деления а на с равняется -1, остаток 3. Или : а = 8, с = 2 , частное 4, остаток 0. Или : а = 2, с = 8 , частное 0, остаток 2.

То же правило действует относительно полиномов. В результате деления полиномов P(x) на S(x) получаются два полинома - частное Q(x) и остаток R(x) :

P(x) = S(x)Q(x) + R(x) .

Здесь степень полинома R(x) меньше степени полинома S(x) или R(x) есть нулевой полином(т.е. все его коэффициенты, включая а0 , равны нулю). В примере из 2.4 в качестве остатка имеет место полином - ноль:

36х2 - 49 = (6х - 7)(6х + 7) + (0х + 0).

Если степень полинома P(x) меньше степени полинома S(x) , то Q(x) (частное) есть полином - ноль, а в остатке остается P(x) .

Следующий пример демонстрирует деление двух полиномов

P(x) = 3x3 + 2x2 - 5; S(x) = x2 + 3x - 4 .

3x3 + 2x2 - 5 = Q(x)(x2 + 3x - 4) + R(x) (*)

Степень остатка не выше первой, поэтому пусть R(x) = ax + b. Степень частного может быть только первой (почему?) и поэтому положим Q(x) = сx + d. После подстановки в (*) получаем: 3x3 + 2x2 - 5 = (cx + d)(x2 + 3x - 4) + ax + b

3x3 + 2x2 - 5 = cx3 + (3c + d)x2 + (a + 3d -4c)x + b - 4d

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х и получаем систему :

c = 3

3c + d = 2

a - 4c + 3d = 0

b - 4d = -5

Решение системы (33, -33, 3, -7). Отсюда 3x3 + 2x2 - 5 = (3x - 7)(x2 + 3x - 4) + 33x - 33 .

На самом деле используют способ деления полиномов, очень похожий на деление целых чисел (по-русски - в уголок) :

3x3 + 2x2 - 5 x2 + 3x - 4

.................. 3x - 7

33х - 33

Если разделить полином Р(х) на полином первой степени, то в качестве остатка получится число (пусть r ). Пусть делитель S(x) = x - a , тогда Р(х) = Q(x)(x - a) + r .

Подставим число а вместо переменной х, получим Р(а) = r .

Отсюда следует простое правило для получения остатка от деления Р(х) на х-а : надо вычислить значение полинома Р(а).

Если а есть корень уравнения Р(х) = 0 , то Р(а) = 0 и r = 0 .

Или иначе, если х - а есть делитель полинома Р(х), то Р(а) = 0, значит а есть корень уравнения Р(х) = 0. Отсюда также следует, что Р(х) = Q(x)(x - a) . Тем самым доказана

теорема : Полином х - а является делителем полинома Р(х) , если Р(а) = 0.

Эту теорему можно использовать для доказательства следующей теоремы : Если х1 и х2 есть корни уравнения ax2 + bx + c = 0, то ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2).

И также нетрудно доказать теорему Виета относительно корней квадратного уравнения : х1 + х2 = -b/a ; х1х2 = c/a .

Упражнение. Разложи на множители трином 2 + 9х + 7.

Решение. Корни(множество истинности) уравнения 2 + 9х + 7 = 0 есть {-1, - 3.5}.

Значит 2 + 9х + 7 = 2(х + 3.5)(х + 1) = (2х + 7)(х + 1).

Упражнение. Докажи, что нельзя разложить на множители трином 2 + 4х + 5.

Решение. Множество истинности уравнения 2 + 4х + 5 = 0 пустое, т.к. дискриминант уравнения меньше нуля.

 

2.6. Нахождение корней алгебраического уравнения, степень которого > двух

Выше говорилось, что не существует общего выражения множества истинности для уравнений, степень которых выше 4. Но мы также видели, что иногда можно решать уравнения с помощью разложения на множители.

Займемся уравнением с целыми коэффициентами P(x)=anxn + an-1xn-1 + ... + a1x +a0 .

(Нетрудно показать, что любое уравнение с рациональными коэффициентами (рациональные числа можно представить в виде отношения двух целых чисел) легко сводится к уравнению с целыми коэффициентами простым умножением уравнения на общий знаменатель его коэффициентов).

Теорема(без доказательства): Если рациональное число p/q ( p и q - взаимно простые числа, т.е. в отношении уже нечего сокращать) обращает полином в ноль ( Р(p/q) = 0 ), то р является делителем а0, а q - делителем an.

Упражнение. Показать, что 37 не является рациональным числом .

Решение. У уравнения х3 - 7 = 0 может быть рациональное решение p/q, если q будет делителем для 1 и р - делителем для -7. Но а3 = 1 делится только на 1 и -1. И это означает, что у уравнения может быть либо целое решение (q или 1 или -1) либо ирациональное. Корень кубический из 7 точно не целое число (13 = 1, 23 = 8). Значит уравнение х3 - 7 = 0 может иметь только ирациональное решение.

Итак, если у уравнения P(x) = xn + an-1xn-1 + ... + a1x +a0 c целыми коэффициентами есть решение, то оно либо целое, либо ирациональное, т.к. an = 1.

Вывод. n k , когда n(> 1) и k - натуральные числа, является решением уравнения xn - k = 0. И поэтому этот корень либо целое число либо ирациональное.

Воспользуемся последней теоремой для решения уравнения х3 - х2 - 5х + 5 = 0.

Проверим, есть ли у этого уравнения целые решения. Делителями а0 = 5 являются числа -1, 1, -5, и 5. Подстановка этих чисел дает, что 1 есть корень уравнения. Т.е. :

х3 - х2 - 5х + 5 = Q(x)(x-1)

Разделим исходный полином на х - 1 : 3 - х2 - 5х + 5) : (x-1) = x2 - 5 .

Значит множество истинности уравнения будет { 1 , 5 , -5 }.

Т.е. нахождение одного решения позволяет с помощью деления полинома перевести уравнение к более низкому порядку. Но этот метод действует только тогда, когда уравнение располагает целыми решениями.

На практике используются эффективные методы численного решения уравнений. Эти методы позволяют находить приближенные решения с определенной заранее точностью. И чем выше требуемая точность, тем длиннее вычислительный процесс получения численного(приближенного) решения.

Наиболее простым и распространенным методом получения численного решения

уравнения Р(х) = 0 является метод половинного деления (последовательного деления пополам интервала, в котором определенно есть решение). Суть метода сводится к следующему:

А . Ищем в области определения полинома две точки а и b такие, что Р(а) > 0, а Р(b) < 0, а между этими точками график функции непрерывен ( т.е. его можно построить, не отрывая пера от бумаги). Это означает, что график функции должен пересечь ось х хотя бы один раз. Далее мы ограничимся случаем, когда между а и b есть только одно решение(пересечение ). Заметим также, что точка а может находится на оси х как слева, так и справа от точки b.

В. Находим координату середины интервала [a , b] : c = (a + b)/2.

I. Если Р(с) = 0, то мы нашли решение (х = с) уравнения в интервале [a , b] .

     II. Если Р(с) < 0, то функция должна обратиться в ноль в какой-то точке интервала

[a , c] .

     II. Если Р(с) > 0, то интервалом поиска решения становится [c , b] .

В двух последних случаях мы вдвое сократили интервал поиска решения.

С. Теперь можно повторить описанную выше итерацию (шаг приближения В) уже в интервале [a , c] или [c , b] . И т. д.

D. Для завершения поиска приближенного решения требуется установить необходимую его точность (не хуже). Пусть эта точность e = 0.001 и пусть очередная итерация привела нас к отрезку [2.235 , 2.237] такому, что Р(2.235) Р(2.237) < 0 . Это означает, что середина указанного отрезка х = 2.236 есть приближенное решение уравнения с точностью не хуже e = 0.001 .

В качестве примера организации вычислений приведем таблицу нахождения корня методом половинного деления.

 

________________________________________________________________________

Граница интервала, Граница интервала, Середина интервала

в котором Р(х) < 0 : в котором Р(х) > 0 : [a , b] P(xc)

хb хa хc = (хb + хa )/2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2 3 2.5 +1.875

2 2.5 2.25 +0.078

2 2.25 2.125 -0.54

2.125 2.25 2.188 -0.25

..............................................................................................................................

2.235 2.239 2.237 +0.005

2.235 2.237 х = 2.236 0.001 .

 

Упражнение. Найти приближенное с точностью 0.001 решение уравнения

Р(х) = х3 - х2 - 5х + 5 = 0 в интервале [-3 , -2] .

Решение. Р(-3) = -16 , Р(-2) = +3 . И далее с помощью таблицы:

_________________________________________________________________

хb (Р(х) < 0) хa (Р(х) > 0) хc = (хb + хa )/2 P(xc)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

-3 -2 -2.5 - 4.375

-2.5 -2 -2.25 - 0.2031

-2.25 -2 -2.125 +1.5137

-2.25 -2.125 -2.188 +0.6779

-2.25 -2.188 -2.219 +0.2448

-2.25 -2.219 -2.234 +0.0300

-2.25 -2.234 -2.242 - 0.0861

-2.242 -2.234 -2.238 - 0.0280

-2.238 -2.234 -2.236 +0.0010

-2.238 -2.236 -2.237 х = -2.237 0.001

 

2.7. Упражнения

1. Вынеси общие множители за скобки: a) 4a - 20; b) 3x + 3 ; c) 6y + 9 ; d) 4c2 - 2c ;

e) 18a3 - 9a2 + 6 ; f) 20a4 - 10a2 + 5a6 ; g) 12x2y - 16xy2 ; h) 30x2yz3 + 25x2yz2 ;

i) 12a2b2c + 16abc2 ; j) 7rst + 14 r2st ; k) -mn + m2n2 - mn/3 ; l) -x2y/3 + x2y2/6 ;

m) a2b2/2 - ab/6 + ab3/18 .

2. Вынеси общие множители за скобки и собери выражения :

a) (2a + 3)(a + 1) + (3a + 2)(a + 1); b) (b - a)(a + 1) - (b - a); с)(b - a)(a + 1) + (a - b)(a + 2);

d)(b - a)(a - 1) + (a - b)(a - 2); e)(a - 1)(x + y) + (1 - a)((x - y); f) (a - 1)(x + y) - (1 - a)((y - x);

g) (x2 + y2)(a + 1) - (x2 + y2)(1 - a) ; h) x3 + x2 - (x + 1) .

3. Вынеси за скобки требуемый множитель : a) 2x3 + 3x2 (вынести множитель 5) ;

b)4x2 + 6x3 ( 12); c) 3x2 + x3 ( 5x4) ; d) 2x2 + 3x + 4 ( 4x3) ; e) 2x4 + x3 + 3x ( x4/2) ;

f) x4/2 + x2/3 + 1/4 ( 2x5) ; g) x8 - x9 ( 3x10) ; h) x8 - 1 ( x10/10) .

4. Дополни : a) 3x2 + x3 = (3/x5 + ...) ... ; b) 2x2 + 3x + 4 = (1 + 3/2x + ...) ... ;

c) 2x4 + x3 + 3x = (2/5x + 1/5x2 + ...) ... ; d) 4x2 + x3 = ... (8 + ...) ;

e) x2/2 + x3 = ... (1 + ...) ; f) -x8 - x9 = ... (1/x10 + ...) ;

5. Упростить выражения и указать в каждом случае области допустимых значений до упрощения и после :

a) (4y - 4)/4 ; b)3/(6u + 18) ; c) (a - ab)/(a - b); d) (mr - m)/(nr - n) ; e) (2a - 1)/(4 - 8a) ;

f) (xy - xz)/(3y - 3z) ; g) (yxz - 5yz)/(5yz - xyz) ; h) (ab + ac +ad)/(b2 +bc +db) ;

i) (a/3 +1/3)/(a/6 + 1/6) ; j) (1 + 2/a)/(2a + 4) ; k)(ab -a)/(a - a/b); l) (1 + x/y)/(y/x + 1).

6. Раскрой скобки и упрости :

a) (3a +1)(3a - 1) ; b) (3 -2x)(3 + 2x) ; c) (2m - 7n)(2m + 7n) ; d) (4u - 5)(4u + 5) ;

e)(v/3 +10)(v/3 -10); f)(a/3 + b/5)(a/3 - b/5); g)(x2y - 1)(x2y + 1); h)(xm/b + 1)(xm/b + 1);

i) (1 - b2/2)(1 + b2/2) ; j) (1 + b/3)(1 - b/3) ; k) (m/n + n/m)(m/n - n/m).

7. Разложи выражения на множители :

a) x2 - 1 ; b) y2 - 4 ; c) 36 - z2/9 ; d) a2/4 - 1; e) a2b4 - 16; f) 9x2y2 - 25y4 ; g) 9r2s2 - 1; h) x4 - y4 ; i) x4 - 16 ; j) x2n - y2n (n - натуральное число) .

8. Упрости как только возможно :

a) (2a + 3b)(2a - 3b) - 4a2 - 9b2 ; b) (3m + 1)(3m - 1) - 1 ; c) (y + 2x)(y - 2x) + 4x2 ; d) (a - 5)(a + 5) - (5 - a)(5 + a) ; e) x2 - y2 - (x - y)(x + y) ; f ) (4x2 - 9y2) - (x - 3y)(x + 3y) ; g) (9m2 - 25n2) - (5n + 3m) ; h) (a4 - b4) + (a2 - b2) + (a + b) ; i) (w3 - w) - (w - 1).

9.Упрости выражения. В каких областях допустимых значений упрощения законны?

a) (b - 1)/(b2 - 1); b)(d2 - 4)/(d + 2); c)(a2 - b2)/(b - a) ; d) (m2 - n2)/(9m - 9n) ;

e) (a4y - a2y)/(a - 1) ; f ) (4u2 - 9v2)/(3v - 2u) ; g) (x2/4 - y2/9)/(x - 2y/3) ;

h) (x4 - 1)/(x2 - 1) ; i) (x5 - x)/(x - 1) .

10.Докажи, что квадрат четного числа есть четное число, а квадрат нечетного числа есть нечетное число.

11. Докажи, что если квадрат натурального числа есть четное число, то и само число четное; и если квадрат натурального числа есть нечетное число, то и само число нечетное.

12. Докажи, что для любого натурального числа n :

a) n2 + 3n делится на 2 ; b) (n2 + n)( n + 2) делится на 6 .

13. Реши уравнения а) x4 - 1 = 0 ; b) 9x3 - x = 0 ; c) 16x6 - x2 = 0 ; d) 81x3 - 1/x = 0 ;

e) (x4 -4)(x + 2) = 0; f ) (x2 - 4)(x4 - 16) = 0 ; g) (x3 - 4x)(x2 - 1) = 0 .

14. Реши уравнения: a) 3x3 - x = 0 ; b) 81x3 - 1/x = 0 ; c) (x2 - 4)(x4 - 16) = 0 ;

d) (2x - 1)2 - 36 = 0; e) (4x + 7)3 - 25(4x + 7) = 0 ; f ) (x3 - 4x)(x2 - 1) = 0 ;

g) 16x6 - x2 = 0 ; h) (5 - 3x)2 - 81 = 0 .

15. Реши уравнения : a) x3 - 9x = 0; b) (x-1)3 - (x - 1) = 0; c) (x - 1)x2 - 4(x - 1) = 0;

d)(x2 - 1)/(x - 1) = 0 (внимание!); e) (x 3 - x2)/x = 0; f )1/(x2 - x) - 1/x = 2/(x - 1) - 2 .

16. Докажи, что разница квадратов двух нечетных чисел делится на 8 .

17. Докажи, что если при делении натурального числа на 4 получается остаток, равный трем, то при делении его квадрата на 4 в остатке будет 1. Указание. Общее выражение числа, остаток от деления которого на 4 есть 3, такое: 4к + 3 (к - натуральное число).

18. Дано уравнение x2 - 5x + 3 = 0, его корни х1 и х2. Составь другие квадратные уравнения, корнями которых будут: a) 2x1 , 2x2 ; b) 2x2 + x1 , 2x1 + x2 ; c) x1/x2 , x2/x1 .

19. х1 и х2 есть корни уравнения ax2 + bx + c = 0 . Какими должны быть коэффициенты a , b , c , чтобы : а) один корень был положительным, а второй отрицательным; b) оба корня положительные ; с) оба корня отрицательные . Указание. Воспользуйся соотношениями Виета .

20. Если можно - разложи на множители :

a) x2 - 9x + 20; b) x2 + 7x + 10; c)x2 - 15x - 16; d)x2 + 5x + 30; e) x2 + 2x + 1 ; f )3x2 - 4x + 12; g)5x2 - 14x - 8; h) 3x2 + 7x - 6 ; i) 2x2 - 10x + 12 ; j) 4x2 + 5x - 8 ; k ) 3x2 + 16x + 5 ; l) 9x2 + 6x + 4 ; m) 5x2 + 4x + 7 ; n) 3x2 - 5x - 9 .

21. x1 , x2 , x3 есть корни уравнения ax3 + bx2 + cx + d = 0 . Докажи, что :

ax3 + bx2 + cx + d = a(x - x1 )(x - x2 )(x - x3 )

22. x1 , x2 есть корни уравнения ax2 + bx + c = 0 , a 0 и с 0 . Докажи, что 1/x1 , 1/x2 есть корни уравнения cx2 + bx + a = 0 .

23. Одно из решений(целое) уравнения x3 - 2x2 - 6x + 12 =0 равно 2. И есть у этого уравнения еще два решения. Найди их и разложи выражение на множители.

24. Одно из решений(целое) уравнения x3 - 3x2 - 3x + 9 =0 равно 3. И есть у этого уравнения еще два решения. Найди их и разложи выражение на множители.

Дополнительные упражнения

25. Приведи к более простому виду : a) (1/x - 1)/(1 - x) ; b) (ca + c)/(1/(c - 1) + 1) ;

c) (a - a/(b + 1))/a ; d) (2x - 2xb/a)/(x/b - x/a) .

26. Дополни : a) (5a + ...)2 = ... + 10ab + ... ; b) (3x - ...)(3x + ...) = ... - 4y2 ;

c) (3x - ...)2 = ... - 6xy + ... ; d) (... - 2b)2 = ... - 16ab + ... ; e) (... - 5y)2 = 9x2 - ... + ... ;

f ) (... - 2x)(... + 2x) = y4 - ... ; g) (... + ...)2 = ... + 4x2y + x2 ; h) (x2 - ...)2 = ... - 2x2y2 + ... .

27. Разложи на множители :

a) x2 - x ; b) 2a3b - 2ab3 ; c) (x - 1)b2 - (x2 - 1) ; d) x2 - y2 - 2(x - y) ; e) (x4 - y4) - (y2 - x2) ;

f ) (a - b)2 - 1 ; g) ( a + b)2 - (a - b)2 ; h) ( a - b)3 - (a - b) .

28. Упрости как только можно. Указание: Раскладывай на множители знаменатели выражений. a) 1/(x - 1) - 1/(x2 - x) ; b) 1/(a2 - b2) - 1/(a - b) ; c) 1/(t - a)2 - 1/(t2 -ta ) ;

d) 6/(4x2 - 9) - 1/(2x - 3) - 1/(2x + 3) ; e) (x + y)/(x - y) - (x - y)/(x + y) ;

f ) (1/(x + y) - 1/(x2 - y2))/(1/(x + y)) ; g*) (1/(a - b) - 1/(a2 - b2))/(((a + b)2 + 1)/ (a2 - b2)) ;

h*) (1 - a/(a - b) - b/(a2 - b2))/b .

29*. Реши уравнения. Указание: Сначала разложи на множители одну из частей уравнения. a) x3 - 9x = 0 ; b) (x - 1)x2 - 4(x - 1) = 0 ; c) (x - 1)3 - (x - 1) = 0 ;

d) (x - 2)3 - 2(x2 - 4) = 0 ; e) x(x - 1)2 - (x3 - x) = 0 ; f ) (x2 - 1)/(x - 1) = 0 (осторожно!) ;

g) (x3 - x2)/x = 0 (осторожно!) ; h) (1/(x - 3) - 1/(x2 - 9))/(1/(x - 3)) ;

i) 1/(x2 - x) - 1/x = 2/(x - 1) - 2 ; j) 1/(x - 4) + 1/(x + 4) = 1/(x2 - 16) + 1/16 .

30*. а) Докажи, что если n есть натуральное число, которое при делении на 3 дает остаток, равный 1 , то n2 - 1 делится на 3 . b) Докажи, что если n есть натуральное число, которое при делении на 3 дает остаток, равный 2 , то n2 - 1 делится на 3 .

31*. Докажи , что если n число нечетное , то n2 - 1 делится на 8 .

32.Разложи, если можно, на множители: a) 3x2 - 4x + 5; b) 5x2 - 2x - 5 ; c) 3x2 - 4x - 3; d) 5x2 + 14x + 8 ; e) 9x2 - 30x + 25 ; f ) 3x2 + 6x + 3 ; g) x2 + 7 ; h) x6 + 4x3 + 7 .

33. Докажи , что х - а является делителем полинома xn - an .

34. Воспользуйся методом половинного деления и найди приближенное решение с точностью 0.01 для одного из следующих уравнений :

a) x5 - 4x2 - 7x + 5 = 0 ; b) x3 - 3x2 - 2x + 4 = 0 ; c) x7 - 3x6 - 2x2 + 1 = 0 .

35. У следующих уравнений есть целый корень. Найди этот корень и затем остальные корни и разложи выражения на множители. a) x3 - 2x2 - 3x + 6 = 0 ; b) x3 - 3x2 - 2x + 6 = 0 ; c) x3 - 5x2 + 7x - 35 = 0 ; d) x5 - 2x4 - 4x3 + 8x2 + 4x - 8 = 0 .

 

3.Система уравнений

3.1. Метод подстановки

До сих пор мы решали системы уравнений с несколькими неизвестными в первой степени. Теперь займемся решением систем не обязательно линейных. Обратимся пока к двум уравнениям с двумя неизвестными, но этот метод хорош также и для большего числа неизвестных. Объяснение даются с помощью ряда примеров.

Пример А. Реши систему :

x2 + y2 = 34

y - x = 2

Решение. Запишем второе уравнение так : y = x + 2 . И подставим у в первое уравнение. Система примет вид(обе записи системы равносильны) :

x2 + (2 + x)2 = 34

y = x + 2

Первое уравнение системы x2 + 2x - 15 = 0 содержит только одно неизвестное. Его решение х1 = 3 , х2 = - 5 . Отсюда после подстановки значений х1 и х2 во второе уравнение получаем множество истинности системы : {(3 , 5} , {-5 , -3)}

Пример В.

x2 + y2 = 25

xy = 12

Решение. Здесь оба уравнения второй степени . Но также из второго уравнения можно выразить одно неизвестное через другое . Равносильная система примет вид :

x2 + y2 = 25

x = 12/y

почему вторая система равносильна первой? Ведь в первую систему можно подставить 0 вместо у, а во вторую нельзя.)

После подстановки имеем :

(12/y)2 + y2 = 25

x = 12/y

Решим первое уравнение у4 - 25у2 + 144 = 0 с помощью подстановки z = y2 :

z2 - 25z + 144 = 0; z1 = 16, z2 = 9.

Отсюда у1 = 4, у2 = -4, у3 = 3, у4 = -3. И соответственно х1 = 3, х2 = -3, х3 = 3, х4 = -3.

Ответ. Множество истинности {(3 , 4) , (-3 , -4) , (4 , 3) , (-4 , -3)}.

Вопрос. Возможно ли было предсказать заранее, что если пара (p, q) принадлежит множеству истинности этого уравнения, то а) и (q , p) принадлежит ему? б) и (-p , -q) принадлежит ему?

3.2. Уравнения с параметрами

Рассмотрим группу линейных уравнений : а) 2х - 3 = 0; б) 3х - 1 = 0; в) 2х + 4 = 0.

Все эти уравнения можно получить из выражения ах + с = 0 (1) с помощью подстановки числовых значений вместо а и с (для уравнения а) а = 2 , с = - 3).

Аналогично общей формой квадратных уравнений будет ax2 + bx +c = 0 (2). Подставим, к примеру, а = 4, b = -5 , c = -2 и получим уравнение 4x2 - 5x - 2 = 0 .

Обозначения a, b, c из равенств (1) и (2) называются параметрами . Использование параметров вместо числовых коэффициентов делает возможным получение общих решений для бесконечного семейства подобных по форме уравнений.

И действительно параметрическое равенство ax2 + bx +c = 0 определяет бесконечное множество квадратных уравнений: { ax2 + bx +c = 0 a, b, c R, a 0 } . Т.е. любое квадратное уравнение равносильно одному из элементов этого множества. У каждого уравнения множества существует собственное множество истинности, которое может быть пустым или содержать один или два элемента.

Пример А . Реши уравнение ax + b = c (a, b, c есть параметры)

Решение. ax + b = c ax = c - b;

а) а 0 , x = (c - b)/a ;

b) a = 0, 0x + b = c 0x = c - b . Если с b, то имеет место пустое множество истинности исходного уравнения. Если с = b, то множество истинности уравнения содержит любые числа(бесконечное множество решений).

Иногда значение параметра само является объектом поиска. Например,

а) Найти значение параметра t , при котором уравнение tx + 5 = 5t + x располагает бесконечным множеством решений .

(Решение. (t - 1)x = 5t - 5 t - 1 = 0 и 5t - 5 = 0 t = 1)

б) Каким будет множество истинности этого уравнения, если параметр t будет принимать любые другие значения? { 1 }

Пример В. Дано уравнение х2 - mx + 2m - 3 = 0 . Для каких значений m уравнение располагает единственным решением, двумя решениями или у него нет решений.

Решение. В нашем случае а = 1, b = -m , c = 2m - 3. Отсюда :

x1,2 = (m (m2 - 8m + 12)) / 2

Количество решений уравнения зависит от выражения под корнем m2 - 8m + 12 , которое называют дискриминантом и обозначают D(дельта).

У уравнения есть одно решение, если D = 0 , т.е. m2 - 8m + 12 = 0. Это равенство выполняется, если m = 6 или m = 1.

У уравнения есть два решения, если D > 0 , т.е. m2 - 8m + 12 = (m - 2)(m - 6) > 0. Это неравенство выполняется, если одновременно m > 6 и m > 2 (т.е m > 6) или одновременно m < 6 и m < 2(т.е m < 2) .

У уравнения нет решений, если D < 0 , т.е. (m - 2)(m - 6) < 0. Это неравенство выполняется, если одновременно m < 6 и m > 2 (т.е 2 < m < 6) .

Имеет место следующая теорема, которую легко доказать методом подстановки(исключения переменных) : Система уравнений

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

имеет единственное решение, когда a1b2 a2b1 , и это решение -

x = (c1b2 - c2b1)/( a1b2 - a2b1) , y = (c2a1 - c1a2)/( a1b2 - a2b1) .

Упражнение. Покажи , что это решение действительно, если а1 = 0 и а2 0 .

Пример. Реши систему уравнений

3x + 4y = 18

2x + 5y = 19

Поскольку 35 - 24 = 7 0 , то решение будет (14/7 , 21/7) = (2 , 3).

Пример. Рассмотрим систему уравнений

2x - 4y = c

4x - 3y = d

Вопрос. Как влияет на решение увеличение и уменьшение с и d .

Ответ. Решение системы (-0.3с - 0.4d , -0.4с + 0.2d ) . Т.е. когда с растет , х и у уменьшаются , а когда с уменьшаются , х и у растут; когда d растет , х уменьшается и у растет , а когда d уменьшается , х растет и у уменьшается.

Упражнение. Покажи, что у системы

 

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

нет единственного решения, когда a1b2 = a2b1 : или нет вообще решения, или есть бесконечное число решений.

(Умножим первое уравнение на a2 , а второе на a1 и вычтем из второго уравнения - первое. Получим уравнение отрносительно у : ( a1b2 - a2b1)y = c2a1 - c1a2. Т.е. 0у = c2a1 - c1a2 . Если c2a1 - c1a2 = 0 , то имет место бесконечное множество решений; иначе - система несовместная, у нее нет решений. )

Пример(для тех, кто учил первую главу). Дана система :

x + 2y - 3z = 1

2x + y - z = k + 1

2x + k2y - z = 2

Для каких значений параметра к есть у системы уравнений : а)одно решение; б)бесконечное множество решений; в)пустое множество истинности.

Решение. Матрица коэффициентов системы

1 2 -3 1 1 2 -3 1

2 1 -1 к+1 s2 - 2s1 0 -3 5 к - 1

2 k2 -1 2 s3 - 2s1 3s3 s3 + (k2 - 4)s2 0 0 15+5(k2-4) (k2-4)(к-1)

Третий ноль в третьей строке итоговой матрице получим, когда 15+5(k2-4) = 0 . Множество истинности этого уравнения будет {1 ,-1}.

Подставим к = 1 в последнее уравнение и получим 0х + 0у + 0z = 0 , т.е. у системы бесконечное множество решений.

Подстановка к = -1 дает 0х + 0у + 0z = -6 , т.е. у системы множество истинности пустое.

Все другие подстановки (к 1 и к -1) дадут единственные решения (проверь!).

Упражнение. Реши вышеприведенную систему для к = 2.

 

3.3. Упражнения

1. Реши системы уравнений :

a) x2 + y2 = 20 , y = 2x ; b) x2 + y2 = 29 , y = 7 - x ; c) y2 - x2 = 7 , y = 1 + x ;

d) xy = 8, x + y = 2; e) x + y = 13 , xy = 40; f ) 6x - 5y = 2, xy = 12 ; g) -2x2 + y = 1, -8x + y = 2 ;

h) x2 + y2 - xy = 12 , x - y = 2 ; i) x2 - xy + y2 = 7 , x + y = 8 ; j) 4(x2 - y2 ) = 15xy , x - y = 6 ;

k) (x - 1)2 + (y + 3)2 = 9 , 2x + y = 2 ; l) xy = 12 , x/3 + y/4 = 2 ; m) 1/x + 1/y = , x + y = 9 ; n) (x + 3)(y - 2) = 8 , xy = 15 ; o) xy = 3 , x2 + y2 = 10 ; p) xy = 17 , x2 + y2 = xy10/3 ; q) x2 - y2 = 0 , xy = 36 ; r) x2 - y2 = 0 , xy = 49 .

2. Реши системы уравнений :

a) x/y + y/x = 5/2 , x + y = 9 ; b) (x + y)/(x - y) + (x - y)/(x + y) = 5/2 , x2 + y2 - 4y = 32 ;

c) x/(y - 1) + (y - 1)/x = 10/3 , x - y = 7 .

3. Реши систему уравнений : х4 - 5х2у2 + 6у4 = 0 , x2 - y2 = 18 .

4. Сумма квадратов двух последовательных нечетных чисел = 202. Какие это числа ?

5. Сумма квадратов двух последовательных чисел равна 265. Какие это числа ?

6. Произведение двух чисел равно 54, и одно больше другого на 3. Какие это числа?

7. Сумма двух чисел равна 22, и сумма их квадратов равна 250. Какие это числа?

8. Одно число является обратным другому, а их сумма равна 26/5. Какие это числа?

9. Сумма двух чисел равна 3, а их произведение равно -40. Какие это числа?

10. Произведение цифр двузначного числа втрое меньше самого числа. Прибавление 18 к этому числу дает число с обратным порядком цифр. Какое число задано ?

11. Задано двузначное число, в котором цифра десятков больше цифры единиц на 2. Произведение заданного числа на число, составленное из тех же цифр, записаных в обратном порядке, равно 1855. Какое задано числа?

12.Велосипедист проехал 8 км по грунтовой дороге. Затем по хорошей дороге он проехал еще 30 км. Скорость по хорошей дороге была на 6 км/ч выше, чем по грунтовой. Весь путь занял у велосипедиста 5 часов. Какова была его скорость на грунтовой дороге?

13. Легковой автомобиль и грузовик преодолевают путь в 240 км. Скорость

грузовика меньше скорости легковой машины на 20 км/ч и поэтому он тратит на весь путь на 1 час больше. Определи скорости автомобилей.

14. Два велосипедиста стартовали и добрались до места одновременно, проехав 42 км. Скорость одного из них на 4 км/ч больше скорости другого. Один останавливался в дороге на 1 час, а второй на 20 минут. Определи скорости велосипедистов.

15.Машина вышла из пункта А в пункт В. После часа езды еще час машина простояла, и чтобы прийти в пункт В вовремя пришлось увеличить скорость в 1.5 раза. Если бы скорость была увеличена на 20 км/ч от исходной скорости, то машина бы опоздала на четверть часа. За сколько времени планировал водитель

 

добраться из пункта А в пункт В без остановки?

16. Грузовик вышел из А в В ( АВ = 291 км.). Через час после старта грузовика из В в А выехало такси. Машины встретились на расстоянии 126 км от В. Скорость грузовика на 12 км/ч меньше скорости такси. Найди скорости автомобилей.

17.Бригада рабочих должна получить за свою работу всего 1800 шекелей. Но пришлось занять еще 3 рабочих. Поэтому каждый получил на 30 шекелей меньше первоначально установленной платы. Сколько получил каждый рабочий?

18. Две бригады должны были проложить канал длиной 20 км , каждая - по 10 км. Одна из бригад работала на один день больше , чем вторая. Каждый день, когда обе бригады работали вместе , канал удлинялся на 4.5 км. Сколько км канала прокладывала каждая бригад за один день?

19. Торговец купил некоторое количество журналов на 600 шекелей. Есле бы каждый журнал стоил на 0.5 шекеля дороже, то на ту же сумму он купил бы на 100 журналов меньше. Какова цена одного журнала?

20. Площадь прямоугольника = 20 м.кв. Если удлинить каждую его сторону на 2 м, то площадь прямоугольника увеличится на 22 м.кв. Найди стороны прямоугольника.

21. Площадь прямоугольного треугольника составляет 50 см.кв. Если удлинить один из катетов на 1 см и укоротить второй катет на 5 см, площадь треугольника уменьшится на 5 см.кв. Найди стороны треугольника.

22. Длины сторон треугольника 10, 12 и 3. Найди постоянную величину, которую нужно добавить к длине каждой из сторон, чтобы треугольник стал прямоугольным.

23. В прямоугольном треугольнике длина гипотенузы составляет 13 см. Если удлинить один катет на 1 см и укоротить второй на 4 см, образуется новый прямоугольный треугольник с гипотенузой длиной 10 см. Найди стороны исходного треугольника.

24. Дана два квадрата. Сумма их периметров 48 см, а сумма их площадей 74 см.кв. Какова длина сторон квадратов?

25. Цена товара дважды поднималась на один и тот же процент. В итоге цена выросла с 35 шекелкй до 50.4 шекелей. На сколько процентов всякий раз поднималась цена?

26. Цена товара дважды снижалась на один и тот же процент. В итоге цена упала с 500 шекелей до 405 шекелей. На сколько процентов всякий раз опускалась цена?

27. На представление продано 28 билетов. Цена трех взрослых билетов на 2 шекеля больше цены четырех детских. За детские билеты уплатили 50 шекелей, а за взрослые - 32 шекеля. Сколько продано детских билетов?

28. Торговец купил сахар и муку. За муку он заплатил 60 шекелей и 90 шекелей за сахар. Сахара он купил на 3 кг больше чем муки. Килограмм сахара дороже на 1 шекель килограмма муки. Сколько сахара купил торговец?

29. Сумма двузначного числа и произведения его цифр равна сумме квадратов цифр числа. Если поменять порядок цифр в числе, то получится число больше исходного на 36. Определи исходное число.

Указания. а)В следующих примерах неизвестные обозначаются как x, y, z. б)Когда

написано найди, это означает найди, если существует. Если, например, тебя просят найти для каких значений параметра t есть у уравнения бесконечное число решений, то возможен ответ, что нет таких значений t.

30. Реши следующие уравнения и оцени, для каких значений параметров у уравнений нет решений(если такие значения существуют) : a) 5x + b = a ; b) ax + 3 = 1 - 3ax ;

с) (a2 - 1)x = 5 ; d) 2x - a = 3x/a + 3 ; e) x2 - 5 = m2 + 1; f ) x(a -2) = a(x -2); g) xa2 - b = 9x + 6b ; h) xa2 - ab = 3ab - 8x2 ; i) a = (3x + 1)/(3x - 1) ; j) a = (5 - 2x2)/4x2 .

31. Реши следующие уравнения и оцени, для каких значений параметров у уравнений нет решений : а) x2 + t = 5 ; b) x2 + c2 = d2 ; c) x2 + 6ax = x2 ; d) x2 - 36b2 = 0 ; e)x2 + b + a = 0 ; f ) x2 + bx = -3x2 ; g) x(x +a) = x2 - a2 ; h) 3x2 = ax - 7 ; i) x2 -bx + c2 = 0 ; j)mx2 + 9 = mx + 2x .

32. Дано уравнение а(х + 3) = 3(2а - х) . С помощью подстановок получили 4 уравнения, множества истинности которых a) {0} ; b) {1} ; c) {-2} ; d) . Найди эти уравнения.

33. Для каких значений параметра с нет решений у уравнений : a) c - x = 2(cx - 1) ;

b) 4x - c = c(2x -3) ; c) (cx - 1)/(x + 1) = c2 ; d) xc = x/c + 1 + 2/c .

34. Для каких значений параметра t есть бесконечное число решений у уравнений : a) tx + 2 = 2t + x ; b) 2 - t2x = -2tx + t ; c) t(tx - 1) = 4(x - 1/2) ; d) t3 x - tx = t2 - 1 .

35. Докажи, что у уравнения ах = 1 - 5х/а есть решение для любого значения параметра а, кроме а = 0.

36. Дано уравнение t2x + 1 = t4 - x . а) Докажи, что у уравнения есть решение для любого значения параметра t . б) Для каких значений параметра t решения будут положительными? в) Для каких значений параметра t решения будут отрицательными?

37. Докажи, что у уравнения -2х = t2(1 + 2x) есть отрицательные решения для любого значения параметра t .

38. Дано уравнение (х - 1)/(2 - кх) = к . Для каких значений параметра к решения будут положительными, а для каких - отрицательными ?

39. Для каких значений параметра t у следующих уравнений будет единственное решение, будет два решения или ни одного : a) x2 = tx - 1 ; b) 4x - t = x2 ; c) t2 = x(4 -x) ; d) x2 = 2x/t - 1 ; e) x2 - 2tx + t2 = 4t2 - 1 ; f ) x2 - tx - 5 = 0 ;

40. Дано уравнение m(3x2 + 1) - x(6 - 4m) = 2 . Для каких значений параметра m у данного уравнения будет единственное решение, два решения или ни одного .

41. Дано уравнение x(5mx - 3) - m(7x - 2) + x2 + 3 = 0 . Для каких значений параметра m у данного уравнения будет единственное решение, два решения или ни одного .

42. Дано уравнение x(x + 2) + 9x2 - 100 = m(x + 1) . Для каких значений параметра m у данного уравнения будет единственное решение, будет два решения или ни одного .

43. Для какого значения m у следующей системы не будет решения :

mx + 3y = 7

х + у = 2

44.Для какого значения m у следующей системы есть решение, а для какого - нет : mx - y = 2

х - 2у = -1

45. Для какого значения m у следующей системы будет бесконечное число решений: 2x + (2 + m)y = 4 + m

х + 2у = 3

46. Дана система уравнений (1 - m)x - y = -2

(m + 1)x + 3y = 8

Для каких значений m у системы а) есть единственное решение; б) нет решений; в)бесконечное множество решений.

47. Те же вопросы для системы : (1 + m)x - 3y = 18

(m - 1)x + y = -6

48. Дана система уравнений ax + by = c

x + y = 5

Проверь все возможности относительно a, b и с и найди решения для каждого из возможных случаев.

49. Покажи, что для любого значения m у следующей системы будет решение и найди его. x2 + y2 = 2m2

x + y = m

50. Для какого m у следующей системы есть единственное решение? Найди его.

x2 + y2 = 4

x - y = m

Указание. Упражнения 51 - 53 для изучавших главу 1.

51. Для каких значений к у следующей системы а) есть единственное решение; б) нет решений; в)бесконечное множество решений.

kx - y - z = 1

-x + ky - z = 1

-x - y - kz = 1

52. Те же вопросы для системы :

(k + 2)x + 2y + 2z = 0

-9x + (k - 7)y - 6z = 0

8x + 6y + (k + 5)z = 0

53. Те же вопросы для системы :

x + 2y - 3z = 1

2x + k2y - z = 2

x - y + 2z = k

Дополнительные упражнения

54. Реши системы уравнений :

a) x2 - xy = 6 , 3x + y = 5 ; b) 2x2 - xy + y2 = 4 , 2x - y = 0 ; c) x2 - 3xy + 2y2 = 8 , 3x - 4y = 8 ;

d) (x - 1)/(x + y) + (y - 1)/(x - y) = 1/3, 2x - y = 3; e) (x - y)(x + y) = 16 , 3x - 2y = 9; f ) (x - y)2 = 9 , x + y = 1 .

55. Две мастерские заняты ремонтом машин. Одна мастерская получила 112 машин для ремонта, а вторая 90 машин. Второй мастерской на работу потребовалось на три дня меньше, чем первой, а каждый день она чинила на 4 машины больше, чем первая. Сколько машин чинила каждая мастерская за 1 день.

56. Столяр, работая в постоянном темпе, должен к определенной дате сделать

216 стульев . Прошло три дня работы в этом темпе, и его попросили сделать 232 стула. Он увеличил производство стульев на 8 штук в день и завершил работу на один день раньше. Сколько стульев делал столяр за день сначала?

57. Продавец купил тарелки и чашки и заплатил 1200 шекелей. На продаже тарелок он заработает 48 шекелей, а на продаже чашек 120 шекелей. Процент наценки на тарелки на 3% меньше наценки на чашки. Какой был процент наценки на тарелки?

58. Клиент одного из банков внес на один свой счет 8000 шекелей и 12000 шекелей на другой счет. Через какое-то время на первом счету у него было 9200 основного капитала . А спустя пять месяцов на втором счету было 15000 шекелей основного капитала. Размер годового процента на втором счету на 3% больше , чем на первом . Определи годовые проценты на каждом из счетов. (Основной капитал исчисляется в пропорциональной доле без учета процентов на проценты).

59. Склянка содержит 20 см3 чистой кислоты. Из нее отлили сколько-то кислоты и долили столько же воды. После этого взяли из сосуда то же количество раствора и снова пополнили сосуд водой до 20 см3. В итоге в растворе оказалось кислоты в три раза меньше чем воды. Какой объем кислоты отлили из склянки в первый раз?

60*. В сплаве золота и серебра количество серебра на 160 гр. больше количества золота. В сплав добавили 100 гр. золота и его содержание в сплаве увеличилось на 14%. Сколько граммов золота было в сплаве сначала?

61.Развели в воде 60 гр. чистого спирта. Затем добавили в полученный раствор