Make your own free website on Tripod.com

אלגברה ווקטורים(גירסה משולבת) - 4 ו- 5 יחידות לימוד

ד"ר אורי רימון, פרופ' שמשון עמיצור, פרופ' מיכאל משלר. עריכה - ד"ר פאול כץ

АЛГЕБРА-четыре и пять единиц обучения И ВЕКТОРЫ (комбинированная версия) Д-р Ури Римон, проф. Шимшон Амицур, проф. Михаэль Машлер

Под редакцией д-ра Пауля Каца

До сих пор в рамках Цетра преподавания наук вышли две книги по теме векторов, подход первой был геометрический, а у второй - алгебраический . Настоящая книга есть комбинированная версия обоих подходов. Она предназначена учащимся на 4 и 5 единиц обучения. Восьмая глава предназначена только учащимся на 5 единиц обучения. Доказательства многих теорем, появляющихся в этой главе, доступны на этом этапе(?). Часть упражнений в этой книге знакомы учителям из других учебников. Мы не рекомендуем решать все упражнения из этой книги. Имеет смысл оставить часть из них для повторения в 12 классе. Отклики и замечания учителей на настоящее издание будут приняты с признательностью. Благодарности ...

 

1. Векторное алгебраическое пространство

1.1. Операции, разрешенные в уравнениях(1)

Дана система уравнений :

а. -2х + 3у = -5

3х + 5у = -2

Повторим несколько шагов процедуры решения этого уравнения. Сперва

умножают обе части первого уравнения на 3, а обе части второго - на 2. Таким образом мы добиваемся, что у двух новых уравнений коэффициенты при х одинаковые и с обратными знаками. Получим :

б. -6х + 9у = -15

6х + 10у = - 4

На втором этапе складывем эти уравнения - левые и правые части соответственно. Получаем 19у = -19, т.е. уравнение, в котором коэффициент при х равен нулю. Если заменить одно из уравнений в системе б. на последнее уравнение, получим :

в. 6х + 10у = - 4

19у = -19

Получено три системы. Любое решение 0 , у0) одной системы является решением остальных систем, а потому они называются равносильными системами. Объяснение этому в том, что у систем а., б. и в. одинаковое множество истинности. Иными словами, умножение на числа, отличные от нуля, а также сложение уравнений не изменяют множество истинности системы . После простых вычислений видим, что единственное решение системы в. есть (1 , -1)(проверь!), оно также есть решение системы а.

Запишем вновь эти системы, но теперь в сокращенной форме. Уравнение -2х + 3у = -5 из системы а. обозначим m1 и запишем m1 = (-2 , 3 , -5) . В такой форме мы записали только коэффициенты посредством трех чисел. Первое число в этой тройке есть коэффициент при х, второе - коэффициент при у, а третье - свободный член. Подчеркивание снизу m1 сделано для обозначения того, что это не одно число. Подобным образом обозначим через m2 второе уравнение 3х + 5у = -2 и запишем m2 = (3 , 5 , -2).

В сокращенной записи система а. выглядит так :

а. m1 = (-2 , 3 , -5)

m2 = (3 , 5 , -2)

Чтобы получить систему б., умножаем m1 на 3, m2 на 2 и пишем 3m1, 2m2 , т.е.:

б. 3m1 = 3(-2 , 3 , -5) = (-6, 9, -15)

2m2 = 2(3 , 5 , -2) = (6, 10 , -4)

_____________________________

(1)Учащимся на 5 единиц тема знакома с 10 класса

 

 

Если сложить 3m1 и 2m2 , то получится система в. в такой форме :

3m1 + 2m2 = (0 , 19 , -19)

2m2 = (6, 10 , -4)

Подобный процесс осуществляется при решении систем из трех уравнений с тремя неизвестными.

Когда дана система из двух уравнений с тремя неизвестными, то возможно множество решений. Пусть , например, дана система

2x -3y + z = 2

x + y - 2z = 1

Мы можем выбрать, например, некторое значение z и получить два уравнения с двумя неизвестными, которые сможем решить. К примеру подставим z = 1 и получим

2x -3y + 1 = 2

x + y - 2 = 1

Решением этой системы являются х = 2, у = 1, а решение исходной системы есть (2 , 1 , 1) (проверь!). Когда z = -2 , мы получим решение (-1 , -2 , -2), и так для каждого выбранного значения z .

И для уравнений с 3 неизвестными мы можем осуществлять две операции, которые не меняют множество истинности : умножение уравнения на число, отличное от нуля, и сложение уравнений.

Запишем и в этом случае систему в сокращенной форме. Обозначим уравнение 2х - 3у + z = 2 через m1 и представим его , пропустив знаки неизвестных, посредством четверки чисел (2 , -3 , 1 , 2) . К подобному виду приведем второе уравнение. Теперь система будет записана так :

а. m1 = (2 , -3 , 1 , 2)

m2 = (1 , 1 , -2 , 1)

Первое действие : умножим одно из уравнений в системе а. на число t , отличное от нуля. Это действие не изменит множество истинности. Мы получим систему б. равносильную а. ( с теми же решениями).

б. t.m1 = t.(2 , -3 , 1 , 2) = (2t , -3t , t , 2t)

m2 = (1 , 1 , -2 , 1)

Второе действие : в следующей системе первое уравнение появляется в виде первого уравнения системы а. , а второе получается сложением двух уравнений а. Так снова получается равносильная предыдущим система :

в. m1 = (2 , -3 , 1 , 2)

m1 + m2 = (2 , -3 , 1 , 2) + (1 , 1 , -2 , 1) = (3 , -2 , -1 , 2)

С помощью сочетания трех этих действий можно , к примеру , получить

t.m1 + m2 = (2t + 1 , -3t + 1 , t - 2 , 2t + 1)

Если, например, положить t = -1/2 , получим -0.5*m1 + m2 = (0 , 5/2 , -5/2 , 0).

Эта четверка чисел представляет уравнение, в котором отсутствует неизвестное х, поскольку коэффициент при х равен 0.

 

1.2. Векторное пространство R4

В предыдущем параграфе мы имели дело с четверкой чисел (a1, a2, a3, a4).

Ее алгебраический смысл состоит в том, что она представляет уравнение с тремя неизвестными a1x + a2y + a3z = a4 . Выясняется, что в математике можно придать разные смысловые значения подобным четверкам чисел и действиям между

ними. Поэтому их обрабатывают особым образом без связи со смысловым значением и у них есть свое имя.

Определение. Четверка чисел (a1, a2, a3, a4) назывется вектором(четырехмерным) , она обозначается буквой а с нижним подчеркиванием. Запишем кратко а=(a1,a2,a3,a4). Числа a1 .... a4 именуются координатами (составляющими, компонентами) вектора а .

 

Аналогично обозначаются u = (u1, u2, u3, u4) , y = (y1, y2, y3, y4) и т.д. Два вектора а = (a1, a2, a3, a4) и b = (b1, b2, b3, b4) считаются равными , если равны их соответствующие составляющие, т.е. a1 = b1, a2 = b2 , a3 = b3 , a4 = b4 . Тогда пишут (a1, a2, a3, a4) = (b1, b2, b3, b4) или кратко а = b .

Иными словами два вектора называются равными, если они тождественны. Обозначим через R4 множество таких векторов и назовем его векторным четырехмерным пространством : R4 = {(a1, a2, a3, a4) |a1, a2, a3, a4 - числа }

Подобно действиям с уравнениями определим в пространстве R4 две операции - сложение векторов и умножение вектора на число. Пусть

а = (a1, a2, a3, a4), b = (b1, b2, b3, b4) есть два четырехмерных вектора, а t есть число. Сумма а + b определена так: а + b = (a1+b1, a2+b2, a3+b3, a4+b4).

А произведение t.а = (t.a1, t.a2, t.a3, t.a4).

Обрати внимание. В последнем определении говорится об умножении двух разных форм - вектора и числа, когда результатом операции является вектор. Чтобы отличать умножение чисел и умножение вектора на

число(скаляр), говорят об умножении вектора на скаляр.

Обрати также внимание на то, что в определении сложения векторов мы пользуемся знаком "+"(плюс) для двух разных целей : для сложения чисел и для сложения векторов. Подобно этому мы пользуемся знаком "." (умножить) и для умножения чисел и для умножения вектора на скаляр. И подобно тому как это делается при умножении чисел часто опускают знак умножения в t.а и пишут tа . Условимся всегда писать скалярный множитель слева от векторного множимого.

Ниже дается ряд правил, доказательство которых базируется на свойствах сложения и умножения вещественных чисел.

Т1. Замкнутость относительно операции сложения. Для любых двух элементов а и b из R4 сумма а + b также является элементом R4.

Т2. Сочетательный(ассоциативный) закон сложения. Для любого а , b и с из R4 (а + b ) + с = а + (b + с) . Согласно этому закону принято опускать скобки и писать а+b+с .

Т3. Существование элемента нуля . Элемент 0 = (0 , 0 , 0 , 0) в R4 обладает следующим свойством : для любого элемента а из R4 действительно

а + 0 = 0 + а = а . 0 называют нейтральным относительно сложения элементом или нулевым вектором .

Т4. Существование противоположного элемента. У каждого элемента а = (a1, a2, a3, a4) в R4 существует противоположный ему элемент (-a1, -a2, -a3, -a4), который записывается -а и для которого действительно а + (-а) = -а + а = 0 .

Вместо а + (-b) принято писать коротко а - b . Это действие вычитания ; вычитание

есть операция обратная сложению и (а - b) + b = а . Если а = (a1, a2, a3, a4) и b = (b1, b2, b3, b4) , то а - b = (a1- b1, a2 - b2, a3- b3, a4 - b4).

Т5. Переместительный (коммутативный) закон сложения . Для каждого а и b в R4 действительно а + b = b + a .

Т6. Замкнутость относительно операции умножения на скаляр. Для любого действительного числа t и любого а из R4 элемент t.а также является элементом R4.

Т7. Для любого а из R4 действительно 1.а = а.

Т8. Сочетательный(ассоциативный) закон умножения на скаляр. Для любого а из

R4 и любых двух чисел t и s действительно t.(s.a) = (t.s).a .

Обрати внимание . В правой части последнего равенства точка, обозначающая умножение, задает два различных действия : в t.s это умножение двух вещественных чисел, а вторая точка указывет на умножение вектора на скаляр.

Т9. Распределительный (дистрибутивный) закон для скаляров. Для любого а из R4 и любых двух чисел t и s действительно (t +s).a = t .a +s.a .

Т10. Распределительный (дистрибутивный) закон для векторов. Для любых а и b из R4 и любого числа t действительно t(а + b) = t.a +t.b .

Как сказано выше доказываются правила просто. Докажем для примера правило Т10. Левая часть согласно определению сложения векторов есть

t(а + b) = t(a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, a4 + b4) =

далее согласно определению умножения вектора на скаляр :

= (t.(a1 + b1), t.(a2 + b2), t.(a3 + b3), t.(a4 + b4)) =

и в соответствии с распределительным законом для вещественных чисел:

= (t.a1 + t.b1, t.a2 + t.b2, t.a3 + t.b3, t.a4 + t.b4) .

Правая часть согласно определению умножения вектора на скаляр есть

t.a +t.b = (t.a1, t.a2, t.a3, t.a4) + (t.b1, t.b2, t.b3, t.b4) =

и согласно определению сложения векторов :

= (t.a1 + t.b1, t.a2 + t.b2, t.a3 + t.b3, t.a4 + t.b4) .

Отсюда следует, что две части равны между собой.

Отметим несколько дополнительных свойств, которые можно доказать из свойств сложения и умножения вещественных чисел или прямо из десяти наших правил.

1. u = -(-u)

2. 0.u = 0 (скаляр 0 умножить на вектор u равно вектору 0)

3. t.0 = 0 (вектор 0 умножить на скаляр равно вектору 0)

4. -t.u = -(t.u)

5. (t - s).u = t.u - s.u

6. t.(u - v) = t.u - t.v

Правила переноса между частями уравнений :

7. Если u + v = w , то u = w - v ( и также v = - u + w )

8. Если v = tu и t не равно 0, то u = v/t

9. Если tu = 0, то или t = 0 или u = 0 .

Докажем для примера правила 7 и 8, опираясь на десять правил от Т1 до Т10. На каждом этапе доказательства будем отмечать, на какое

правило мы опираемся.

Доказательство свойства 7.

Прибавим -v к двум частям равенства u + v = w :

(u + v) +(-v) = w + (-v) (согласно Т2 и соглашений по записи )

u +( v +(-v)) = w - v (согласно Т4) u + 0 = w - v (согласно Т3) u = w - v .

Доказательство свойства 8.

Умножим обе части равенства v = tu на 1/t : v/t = (tu)/t (согласно Т8)

v/t = (t/t)u (согласно свойств действительных чисел))

v/t = 1.u (согласно Т7) v/t = u .

Здесь мы видим подобие между правилами операций сложения выражений и сложения векторов, а также умножением числа на выражение и умножением скаляра на вектор. И как результат следует

процедура упрощения векторных выражений или решения уравнений, подобная той, что осуществляется над числами. Продемонстрируем это :

1. Использование распределительного правила.

Пусть u = (1, 2, -1, 0) , v = (1, 3, 0, -2) . Найди вектор 3(u - 2v) - 2(u - v)

Решение(1). Сначала упростим выражение

3(u - 2v) - 2(u - v) = 3u - 6v - 2u + 2v = u - 4v . Отсюда искомый вектор

u - 4v = (1, 2, -1, 0) - 4(1, 3, 0, -2) = (1, 2, -1, 0) - (4, 12, 0, -8) = (-3, -10, -1, 8) .

2. Использование в решении уравнений.

Пусть даны векторы u и v . Реши относительно х уравнение 2(x - u) = v + 4x .

Решение. 2(x - u) = v + 4x 2x - 2u = v + 4x -2x = v + 2u x = -(v + 2u)/2. Если u и v есть векторы из предыдущего примера, то

x = -((1, 3, 0, -2) + (2, 4, -2, 0) = -(3, 7, -2, -2)/2 = (-3/2, -7/2, 1, 1) .

 

1.3. Векторное пространство Rn

Читателю, несомненно, ясно, что выбор вектора , как упорядоченной четверки чисел, является случайным. Точно так же мы могли заняться векторами с тремя упорядоченными координатами. Например, а = (а1, а2, а3) может представлять уравнение а1х + а2у = а3 с двумя неизвестными,- мы видели это в разделе 1.1 . В общей форме для любого натурального n можно работать с векторами 1, а2, а3, .... , аn). Такие упорядоченные множества чисел появляются не только в линейных уравнениях и в многочисленных иных разделах математики, но также и в экономике.

Пример . Фабрика, производящая 5 различных видов продукции, желает записывать результаты работы за день в виде (q1, q2, q3, q4, q5), где q1 есть число произведенных за день единиц первого продукта, q2 - второго

и т.д. Числа q1, q2 ... могут быть и отрицательными, если включить в продукцию сырье, необходимое заводу.

Векторная теория обслуживает упорядоченные множества чисел; среди вычислительных операций, определенных над ними, в качестве примера можно указать на те, что мы видели в R4 . Ниже дается алгебраическое определение n - мерного векторного пространства.

Обозначения и определения. Вектором называется упорядоченная строка чисел а = (а1, а2, а3, .... , аn). Число элементов строки n назывется размерностью вектора. Числа а1, а2, .... , аn можно называть координатами, компонентами, составляющими. Векторное множество {(а1, а2, .... , аn)| , ai -числа} обозначается Rn. Определим в этом множестве (как в R4): векторы а = (а1, а2, .... , аn) и b = (b1, b2, .... , bn) будут называться равными и обозначаться а = b или 12,....,аn) = (b1,b2,....,bn) , если а1 = b1, а2 = b2, ...., аn = bn . Иными словами равенство двух n-мерных векторов объясняется n равенствами пар вещественных чисел.

Векторная размерность, если она не обозначена специально, должна быть ясной из контекста. Нельзя говорить о равенстве векторов разной размерности.

Определим в Rn операцию сложения и операцию умножения на скаляр подобно тому, как это было определено R4 . Пусть а = (а1, а2, .... , аn) и b = (b1, b2, .... , bn) два n-мерных вектора, а t - число (скаляр).

Сумма а + b определяется так : а + b = (a1+b1, а2+b2, .... , an+bn) .

Произведение ta определяется так : ta = (tа1, tа2, .... , tаn) .

Все правила Т1-Т10, известные нам для R4 , действительны также в Rn для произвольного заданного n . Верны и свойства 1-9 (параграф 1.2), и ими пользуются точно также для упрощения векторных выражений и решения уравнений.

Вопрос.Что такое, по твоему мнению, одномерное векторное пространство?

1.4. Дополнительные примеры векторного пространства и его использования

1.4.1. Дано уравнение 2x + 3y + 4z = 0 . У этого уравнения бесконечное множество

решений, т.к. для произвольной пары значений y и z мы можем вычислить значение х . Например, когда y = 1 и z = -1 , получим :

2x + 3y + 4z = 0 х = 1/2. А потому (1/2, 1, -1) есть решение уравнения.

______________________

(1)Здесь есть повторное использование ассоциативного закона в сложении; не входя в детали, мы опускаем скобки согласно этому закону.

 

Любое решение этого уравнения есть тройка чисел, т.е. вектор в R3 . Обратное утверждение, понятно, не является верным. Не каждый вектор в R3 есть решение заданного уравнения, например, вектор (1, 1, 1) не удовлетворяет ему(проверь!). Отсюда следует, что множество решений уравнения 2x + 3y + 4z = 0 есть бесконечное множество векторов, являющееся частью R3 .

Утверждение . Для множества векторов Р, являющихся решениями уравнения 2x + 3y + 4z = 0 , действительны все правила, действующие в векторном пространстве R3 .

Доказательство . Правила Т2, Т5 и Т7-Т10 действительны во всем R3 , поэтому, конечно, и в подмножестве Р как части R3 .

Т1. Замкнутость относительно операции сложения. Пусть u1 = (x1, y1, z1) и u2 = (x2, y2, z2) два вектора из Р. Т.е. 2x1 +3y1 +4z1 = 0 и 2x2 +3y2 +4z2 = 0 высказывания истинные. Необходимо показать, что

u1 + u2 = (x1 + x2, y1 + y2 , z1 + z2 ) есть вектор в Р, т.е. является решением заданного уравнения . И действительно

2(x1 +x2) + 3(y1 +y2 ) + 4(z1 +z2 ) = (2x1 +3y1 +4z1) + (2x2 +3y2 +4z2) = 0+0 = 0.

Т3. Существование элемента нуля . Вектор (0 , 0 , 0) находится в Р (аргументируй!).

Т4. Противоположный элемент . Если u = (x1, y1, z1) в Р, то высказывание 2x1+3y1+4z1 = 0 истинно. Поэтому и высказывание 2(-x1)+3(-y1)+4(-z1)= 0 истинно(аргументируй!). Т.е. -u = (-x1, -y1, -z1) находится в Р .

Т6. Замкнутость относительно умножения на скаляр. Если высказывание 2x1+3y1+4z1 = 0 истинно, то действительно также

t(2x1+3y1+4z1) = 2(tx1)+3(ty1)+4(tz1)= 0. Поэтому, если u = (x1, y1, z1) в Р, то и tu = (tx1, ty1, tz1) находится в Р.

Согласно всему изложенному выше множество векторов Р выполняет все законы векторного пространства R3 . Говорят, что Р есть часть векторного пространства R3 или подмножество R3 .

Упражнение. Является ли замкнутым относительно сложения и умножения на скаляр также множество решений уравнения 2x + 3y + 4z = 1 ?

1.4.2. Упорядоченные множества чисел имеют место также в экономике. К примеру, лавка сводит определенную закупку в списке и записывает корзину этих

Продукт

Хлеб

Масло

Яйца

Сахар

Яблоки

Единица

Буханка

Бутылка

Полдюжины

Кг

Ящик

Количество

370

28

-10

120

14

продуктов как пятимерный вектор (14, 120, -10, 28, 370). Третья составляющая имеет знак минус, смысл которого в том, что товар возвращается. Понятно, что (14, 120, -10, 28, 370) не равняется (14, 120, -10, 370, 28), т.е. две корзины различны, если они отличаются хотя бы одной координатой.

Обозначим две корзины a = (a1, a2, a3, a4, a5) , b = (b1, b2, b3, b4, b5); дай объяснение действиям :

u + v = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, a4 + b4, a5 + b5)

1.5u = (1.5a1, 1.5a2, 1.5a3, 1.5a4, 1.5a5)

Читатель может легко удостовериться в том, что множество векторов - корзин выполняют правила векторного пространства R5 .

Примечание. Как в любой экономико-математической модели существуют ограничения и в модели продуктовых корзин. Так, например, t не может быть ирациональным числом или дробью с большим знаменателем и также слишком большим целым числом.

 

1.5. Обобщенное векторное пространство(1)

Понятие n-мерного векторного пространства обобщают способом, который очень принят в различных разделах математики. Исходят из наглядной математической структуры, обладающей известными свойствами, и организуют список из части этих свойств. Они используются как исходная точка, т.е как аксиомы, для определения новой абстрактной математической структуры. Свойства нового образования исследуют, опираясь исключительно на эти аксиомы. В историческом аспекте обобщение вроде этого в большинстве случаев является результатом того, что в различных разделах математики встречаются явления, ведущие себя подобным образом. В следующем случае мы исходим из непустого множества V и двух абстрактных операций - сложения двух элементов V и произведения любого элемента V на любой элемент множества вещественных чисел R . Необходимо, чтобы операции выполнялись согласно правил Т1-Т10 в любом месте от "Rn" к V .(?) Множество V вместе с действиями "+" и "." называется векторным пространством.

Примеры.

а. Пусть F есть множество всех функций, области определений и значений которых есть множество вещественных чисел R. Определим, как положено, сумму двух таких функций и произведение функции на скаляр :

(f + g)(x) = f(x) + g(x) , (c.f)(x) = cf(x)

Например, если f : x |-> sin2x , g : x |-> 2x3 + 1 , c = -9 , то

f +g : x |-> sin2x + 2x3 + 1 , -9f : x |-> -9sin2x .

В этих определениях F есть векторное пространство. Нейтральным элементом в нем является функция нуля(значения которой 0 для любого вещественного х). Противоположная f функция есть -f , определенная с помощью (-f)(x) = -f(x) . В нашем примере это -f : x |-> -sin2x .

Выполнение остальных законов есть прямое следствие правил вычисления над вещественными числами. Обрати внимание, что вектор в F это функция, а не n чисел!

б. Пусть D есть часть описанного выше множества F . D состоит из всех функций, у которых есть производная. Сложение и умножение на скаляр определены в нем как в F . Множество D замкнуто относительно сложения и умножения на скаляр, потому что если существует производная от f и от g , то у f + g и у сf(c - скаляр) есть производная

(объясни это!). Функция нуля и функция ,противоположная функции в D, принадлежат D (почему?). Законы вычислений не нужно проверять, поскольку они действуют в множестве F , в которое входит D . Поэтому D есть векторное пространство. Поскольку D есть частичное множество векторного пространства F, оно также является векторным пространством согласно тех же операций, которые действуют в F, то говорят , что D есть подпространство по отношению к F.

 

1.6. Упражнения

1. Дана система уравнений

6х + 4у = 5

2х - 3у = 7

а). Найди такие множители к уравнениям, чтобы при их сложении неизвестная х

была бы исключена, и напиши соответствующую равносильную систему. б). Найди две пары множителей к уравнениям для исключения при сложении неизвестной у.

2. Аргументируй равносильность следующих систем :

а). 2х + 3у = 2 2х + 3у = 2 б). 2х + 3у = 6 х/3 + у/2 = 1

-6х - 2у = -10 3х + у = 5 х - 2у = 1 -х/2 + у = -1/2

в). х + 2у = -1 -х + 3у = 1 г). 2х + 3у = 2 + 3у = 2

5у = 0 х + 2у = -1 х + 8у = 5 -3х + 2у = 1

________________

(1) Этот раздел не входит в программу обучения

 

3. Запиши в сокращенной форме системы уравнений :

а). 6х - 3у = 7 б). 11х + 3у = -5 в). 0.2х - 3у = -2/3 г). 5х - 3у + 4z = 0

-2х + 4у = 3 4х + 13у = 8 0.2х - 3.5у = 1.6 -6х + 5у - 3z = 6

х + z = 1

4. Ниже приведены системы уравнений, записанные в сокращенной форме. Напиши их в явном виде.

a). m1 = (2, 3, -5) b). m1 = (-4, -3, 0) c). m1 = (a, b, c) d). m1 = (-5, 2, 3, 1)

m2 = (-6, -1/2, 3) m2 = (5, 1, 0) m2 = (d+e, f, g) m2 = (2, 3, 5, 0)

m3 = (0, -1/3, 6, 2)

5. Даны уравнения в сокращенной записи m1 = (-2, 1, 4, 7), m2 = (3, -5, 2, -1) .

Напиши в сокращенной форме следующие уравнения: a). m1 + m2 ; b).2m1 - m2 ; c). 0.5m2 - 5m1; d). 3m1 + m2 ; e).tm1 + 7m2 ; c). am1 + (1 - a)m2;

6. Даны два уравнения в сокращенной записи m1 = (3, 4, -2, -5), m2 = (-4, 2, -1, 3) . Найди хотя бы одну пару чисел a и b для того, чтобы в уравнении am1 + bm2 : a). отсутствовала первая координата; b). отсутствовала третья координата; c). вторая координата равнялась бы 5; d). были бы равны первая и вторая координаты .

7. Даны уравнения m1 = (1, -2, 3), m2 = (3, 2, -5), m3 = (-1, 0, 1) . a). найди t , когда m1 + tm2 = (7, 2, -7) ; b). найди t и s, когда sm1 + tm2 = (2, 0, -1) ; c). найди t и s, когда m1 + sm2 + tm3= (-2, 1, 3) .

8. Вычисли суммы, если они определены : a). (-1, 0, 3) + (4, 6, -5) ;

b). (1, 1, -2, 3, -3) + (0, 1, 2, 3, 4, 5); c). (4, -6, 8, 3) + (5, 6, -3) ; d). (1, 2) + (3, 4) + (-5, 6);

e).(k,k2,k3) + (-1,-1,-1); f).(a, 2b-5,-c, d) + (-a,-2b, c,-d); g).x1(1,0,0) + x2(0,1,0) + x3(0,0,1).

9. Вычисли произведения : a). 14.(1, 2, -6) ; b). -6.(2, 8) ; c). (1/3).(-6, 9, 24, 0) ;

d). 2.(4.(1, -3, 6)) ; e). 2.[-6.(2, -3) + 5.(1, 4)] .

10. a). Найди такие х и у, чтобы выполнялось равенство векторов (2, 4, 3) = (х - у, х + у, 3). b). Найди скаляр k, для которого выполняется k.(1, -4, 7) = (6, -24, 42) . c).Существует ли скаляр k, для которого выполняется k.(1, -5, 9) = (2, -10, 17) ? d).Найди L и У, для которых L.( -4, 7) = (4, У) . e). Найди скаляр s и координаты x, z, t , для которых выполняется s.(3, 8, 6, -5) = (x, 1, z, t) .

11. Пусть u = (2, 3, 5), v = (3, 2, 0), w = (-1, 2, 3) . Найди координаты векторов:

a). u + v + w ; b). u - v + w ; c).u + (v - w ) + w; d) -u + (v + u) - w; e). -w + u - v ;

f). (v + w ) + ( v - u ) + ( u + w ).

12. Пусть u = (1, 2, 3), v = (3, 1, 2), w = (2, 3, 1) . Вычисли векторы :

a).(1/2)u - (2/3)v + (3/4)w ; b). u + 2v - 3u + 4v; c).(1/6)(u + v + w ) ; d). u + 4(v - 2w );

e). (u - v) + (2/3)(v + w) - u ; f). 3(w + 2u) - 2(u + 3v ) .

13. Упрости выражения : a).(1/2)(a + 2b) - a + (3b - a) ; b). a + [b - 2a + 3(b - a)] + b ; c).(u - 2[v - 2w + (1/2)( v - u)] + w ; d).(u + v) - (v - w) - (u - w);

14. e).x(u + v) + y(v - w) + z(w - u ) .

14. Вычисли векторы из предыдущего упражнения для a = (0, 0, 1), b = (0, 1, 0),

u = (2, -1, 1), w = (1, 0, 0), v = (1, -1, 1) .

15. Пусть u = (0, -1, 1), v = (1, -1, 0), w = (1, 0, -1) . Найди тройку чисел x, y, z , которые обеспечат равенство xu +yv + zw = (0, 0, 0) .

16. Пусть a = (1, 1, -1), b = (2, 1, 3), c = (1, 0, 1), d = (-1, 2, 3). Найди тройку чисел x, y, z , которые обеспечат равенство xu +yv + zw = d .

17. a). Найди вектор z , который обеспечит равенство (1, -3, 6) + z = (5, 8, 3) .

b).Найди скаляр k , который обеспечит равенство k.(-1, -1, 3) = (2, 2, -6) .

18. Реши относительно х следующие уравнения : a). (-1, 2, 3) + x = (4, 2, 7) ;

b).x + 2(8, -1, 3, 2) = (8, -1, 3, 2) ; c).x + (1, -5, 8.3) = (0, 0, 0) ; d).-3x +2(1, -4, 5) = (0, 0, 0);

e). 2x + (a, 2a, 3a) = (3a, 4a, 5a) ; f). (b1, b2, b3) + x = (a1, a2, a3) .

19. Реши относительно х векторные уравнения a). 3x + 2(u - x) = 4(u + x) ;

b). (u - 2x) + v = (v + 2x) - u; c). 3(v - x) + 2(u - 3(v - x)) = 0 ; d). 3x + (v - x) = 2(x + v) - v .

 

Найди в каждом случае решение, если u = (0, 1, 1) , v = (2, -5, 0) .

20#.(1) Рассмотри систему двух однородных уравнений с 5 переменными (неизвестными)

x1 - 3x2 + 5x3 + x5 = 0

-2x1 + 4x2 + 3x4 - 2x5 = 0

и пятимерный вектор a = (a1, ..... , a5) , именуемый решением системы, если подстановка a1 вместо x1 , a2 вместо x2 и т.д. обращает два этих уравнения в числовые тождества, т.е. в истинные высказывания . Покажи, что множество всех решений есть векторное пространство - все подпространство R5 . Не пытайся найти решения в числах, но сформулируй его в обобщенном виде.

21*. Дано дифференциальное уравнение xy'' + (1 - x)y' + 3y = 0 . Неизвестным в нем является у как функция от х . y' обозначает производную от y, а y'' есть вторая производная (производная от производной). Функция f от х называется решением, если подстановка ее самой и ее производных обращает уравнение в тождество для всех х в определенной области.

Докажи, что решения уравнения составляют векторное пространство; это подпространство пространства F из примера а. во параграфе 1.5 и также D из примера б.

___________________

(1)Материал, помеченный знаком # , предназначен учащимся на 5 единиц обучения.

 

2. Векторное геометрическое пространство

2.1. Геометрический вектор

Исторически понятие вектора введено сперва в области физики. Там принято видеть в скоростях и силах - векторы и обозначать их с помощью стрелок. Это векторы другого вида, мы будем изучать их в этой главе.

Определение. Геометрический вектор (или, коротко, вектор) есть направленный отрезок. Точку, в которой отрезок начинается, будем называть началом (истоком), а второй край - концом вектора. Геометрический вектор, исходящий из А и завершающийся в В, принято изображать в виде стрелки, острие которой в конечной точке(рис. 2.1), а обозначать АВ(чтобы отличать от принятого обозначения отрезка AB). Геометрические векторы будем также обозначать латинскими буквами с нижним подчеркиванием u, v, w, .... .

В этой главе мы будем заниматься векторами в трехмерном пространстве, а не на плоскости . Векторы в пространстве могут быть любого направления . Геометрическим вектором может быть стрелка, изображенная в тетрадке, или стрелка, соединяющая точку на полу комнаты с точкой на потолке или стене. Вектором является также линия, направленная из центра земного шара к северному полюсу или к любой другой точке космического пространства.

Первый этап векторного геометрического исчисления относится к двум векторам u и v , которые могут быть равны не только при полном их тождестве, но и если можно совместить один вектор с другим с помощью

перемещения, т. е. благодаря передвижению, сохраняющему длину и направление вектора. Это движение может совершаться по прямой, которой принадлежит вектор u (рис. 2.2), или выполняться так, чтобы вектор оставался параллельным сам себе(рис. 2.3). Более подробно о первом случае смещения по той же прямой : два вектора лежат на одной прямой, и можно передвинуть один до совмещения со вторым, сохраняя длину и направление. Второй случай смещения в направлении параллельной прямой : векторы не находятся на одной прямой; вектор AB смещен относительно CD и концы отрезков ABCD таком порядке!) образуют параллелограмм, т.е. AB || CD и AC || BD . В обоих случаях говорят о двух векторах u = AB , v = CD , что они равны , и пишут u = v .

Примечания

1. Обрати внимание : если AB = CD, то AB не равно DC (почему?)

2. Если даны произвольная точка C и вектор u = AB , всегда найдется точка D такая, что CD = AB ; говорят тогда, что AB скопирован или перемещен в точку C . И AB , и CD , и любой другой вектор, получающийся в результате копирования(перемещения) одним из описанных способов, называется представлением вектора u.

Ниже дается простой пример из физики, удостоверяющий наши определения(рис. 2.4). Если перемещают без вращения жесткое тело с одного места в другое, возможно описать это с помощью вектора AA1 , который обозначает, что точка тела A перешла в точку A1 . Но в той же мере и вектор BB1 описывает перемещение тела. Иными словами, все "равные" векторы могут описывать операцию копирования.

2.2. Сложение векторов

Определим теперь в множестве геометрических векторов сложение двух векторов и умножение вектора на скаляр. Далее из этих определений мы увидим, что множество геометрических векторов удовлетворяет всем правилам Т1-Т10 из параграфа 1.2. Поэтому оно удовлетворяет и всем дополнительным теоремам, которые выведены из этих десяти свойств.

В обозначении имени "вектор" мы будем иногда опускать прилагательное "геометрический". (Рис. 2.5) Любым двум векторам u = AB и v = CD можно поставить в соответствие третий вектор, образованный следующим образом: переместим вектор CD в точку В, т.е. в конец вектора u , и получим вектор BE = CD . Двум векторам u и v поставим в соответствие вектор w = AE , который исходит из начала u и завершается в конце v .

 

Определение. Вектор w = AE называется суммой векторов u и v и обозначается w = u + v . В частности, для любых трех точек пространства A, B, C действительно AB + BC = AC , поскольку исток BC есть конец AB и нет необходимости в перемещениях.

Рассмотрим пример сложения векторов. Пусть даны векторы AB и BA , второй вектор получен из первого посредством перемены местами точек истока и конца. Оба они лежат на одной прямой , и согласно последнего определения сложения AB + BA = AA . В результате точка истока совпадает с точкой конца. Чтобы сохранить смысл данного определения сложения , необходимо также считать AA вектором. Говорят, что AA есть нулевой вектор и обозначают его AA = 0 . Это вектор, длина которого равна нулю, и поэтому него нет направления" . Поскольку два вектора u и v считаются равными, если можно их совместить с помощью перемещения, постольку AA равен BB в любой точке B. Запишем AA = BB = 0 .

Пусть теперь v = MN и 0 = PP , тогда v + 0 = MN + PP = MN + NN = MN = v .

Подобным же образом показывают, что 0 + v = v .

Упражнение. (Рис. 2.6) Дан параллелограмм ABCD (см. рисунок). Убедись, что AB + CD = 0 .

Теперь покажем, что множество геометрических векторов удовлетворяет правилам Т1-Т5.

Т1. Замкнутость относительно операции сложения. Если u и v векторы, значит и u + v тоже вектор.

Т2. Сочетательный закон . Необходимо показать, что для любых трех векторов в пространстве u , v , w справедливо ( u + v ) + w = u + ( v + w ).

(Рис. 2.7) Выберем u = AB и переместим вектор v так, чтобы v = BC , а вектор w стал w = CD . Иными словами выберем векторы так, чтобы исток каждого вектора совпадал с концом предшествующего ему вектора. Согласно определению u + v = AC , и поэтому

( u + v ) + w = (AB + BC) + CD = AC + CD = AD .

По той же причине v + w = BD , и поэтому

u + (v + w ) = AB + ( BC + CD ) = AB + BD = AD .

Обратим внимание читателя на то, что три этих вектора не обязаны лежать в одной плоскости, а часть из них или все они могут быть нулевыми векторами.

Мы видели : если в пространстве даны три точки A , B , C так , что u = AB и v = BC , то u + v = AB + BC = CD . Теперь мы видим, что и для четырех точек пространства A, B, C, D справедливо AB + BC + CD = AD.

И этот результат не зависит от сочетания векторов: AB + BC + ... + LM + MN = AN .

Т3. Существование элемента нуля . Вектор AA = 0 есть ноль-вектор, и мы видели, что для любого v справедливо v + 0 = 0 + v .

Т4. Существование противоположного элемента . Вектор BA есть вектор противоположный вектру AB . И действительно, AB + BA = AA = 0, а также BA + AB = BB = 0 . И здесь мы будем обозначать через -u вектор, противоположный u , и писать также BA = -AB .

Как известно, вектор можно переместить в любую точку, и потому и вектор BA = -u может быть перемещен в любое место. Далее даются два примера :

а). (Рис. 2.8) Перенесем -u в точку А(см. рисунок) . В этом случае -u имеет длину, равную длине AB , направление его противоположное.

б). (Рис. 2.9) На рисунке CD = -AB . В этом случае -u воспринимается как противоположная сторона параллелограмма, но с обратным направлением.

Т5. Переместительный закон. (Рис. 2.10) Пусть u = AB и v = AC - два отличных от

нуля вектора с общим истоком, не принадлежащие одной прямой. Сумма u + v получается посредством переноса AC в точку В. Видим, что ABDC есть параллелограмм. Вектор CD получается переносом AB в точку C . Поэтому согласно определению суммы справедливо также AD = v + u . Т. е. мы видели, что для любых векторов справедлив ассоциативный закон u + v = v + u . Этот факт

(сумма двух векторов , исходящих из одной точки и не лежащих на одной прямой, есть диагональ параллелограмма, образованного на двух векторах) известен под названием правило параллелограмма .

Примечания

а). Требование общего истока двух векторов для доказательства переместительного закона не является обязательным, потому что два любых вектора можно перенести к общей исходной точке.

б). Переместительный закон легко доказать и когда два вектора лежат на одной прямой (или на параллельных прямых). Этим случаем мы пополнили доказательство правил Т1 - Т5.

Вычитание векторов

Подобно тому, что имеет место в Rn и в выражениях, также для двух любых геометрических векторов u и v определена операция вычитания посредством u - v = u + (-v) . Мы придавали геометрический смысл сумме векторов, теперь мы также увидим геометрический смысл разницы двух векторов с общим истоком. Пусть (рис. 2.11) u = AB и v = AC есть два таких вектора. В равенстве, которое приведено ниже, мы воспользуемся комутативным законом :

u - v = AB - AC = AB + (-AC) = AB + CA = CA + AB = CB

Иными словами, разница u - v есть вектор, исток которого находится в конце второго вектора , а конец - в конце первого вектора. Три вектора u , v и u - v образуют треугольник.

 

2.3. Умножение вектора на скаляр

Принято обзначать u + u = 2u , u + u + u = 3u и т.д. У подобных векторов есть геометрическая интерпретация. Если u = AB и 2u = AC , то 2u есть вектор на той же прямой и того же направления, что и AB, но длина его вдвое больше длины AB. (Рис. 2.12) Т.е. отношение длин отрезков AC/AB = 2 .

(Рис. 2.13) Понятно, что можно переместить AC на любую параллельную прямую. На рисунке KL = 2AB . Аналогично, если AD = 3AB , то AD будет находиться на прямой AB в направлении вектора AB , его длина будет втрое больше длины AB. Это приводит к общему определению умножения геометрического вектора на скаляр.

Определение. (Рис. 2.14) Для любого вещественного числа t и любого вектора AB , отличного от нуля, вектор AC = t.AB определяется так :

а). Если t > 0 , то вектор AC = t.AB будет находиться на прямой AB в направлении вектора AB , его длина будет t длин AB , т.е. AC/AB = t.

б). Если t < 0 , то вектор AC = t.AB будет находиться на прямой AB в направлении противоположном вектору AB , его длина будет |t| длин AB , т.е. AC/AB = |t|.

в). Если t = 0 , определяем t.AB = 0.

С помощью умножений постоянного вектора AB , отличного от 0 , на различные скаляры можно представить все точки на прямой AB .

Теорема. Для любой точки C на прямой AB существует единственное число t такое, что AC = t.AB .

Доказательство. В определении умножения вектора AB на скаляр t , мы видели, как получается точка C , когда t дано. Но верно и обратное, т.е. если дана точка C, то отношение AC/AB есть вещественное положительное число p . Положим

t = p, если AC и AB однонаправленные, и t = -p , если AC и AB противонаправленные. В любом случае получим AC = t.AB . (Рис. 2.15) В завершение отметим, что t.AB может находиться на прямой, параллельной AB.

В предыдущем параграфе мы видели, что для геометрических векторов действуют правила Т1-Т5 в пространстве Rn . Умножение геометрического вектора связано с выполнением остальных правил Т6 - Т10. Правила Т6-Т9 доказываются немедленно. Здесь мы докажем только правило Т10 и дадим ему также геометрическую интерпретацию.

Т10. Распределительный закон для векторов t(u + v) = tu + tv .

Доказательство. (Рис. 2.16) Пусть u = AB , v = BC . Поэтому u + v = AC . Пусть AD = t.AB (на рисунке t > 0). Проведем DE || BC, где E есть точка, в которой прямая параллельная к BC, проведенная через D, пересекает прямую AC .

Справедливо равенство AE = AD + DE . Поскольку прямые DE и BC параллельны, треугольники ABC и ADE подобны, и поэтому t = AD/AB = DE/BC = AE/AC , т.е. AE = t.AC и также DE = t.BC . С помощью подстановки получаем t.AC = t.AB + t.BC = t.u + t.v . Но AC = u + v , поэтому t(u + v) = tu + tv .

Упражнение. Обобщи распределительный закон на вычитание векторов, т.е. t(u - v) = tu - tv .

Решение. Один путь подобен геометрическому доказательству для суммы. Далее приведен другой способ: t(u - v) = t[u + (-v)] = tu + t(-v) = tu - tv .

Здесь мы опираемся на утверждение t(-v) = -(tv) (аргументируй!) .

Примеры.

1. (Рис. 2.17) В треугольнике ABC обозначены AB = u , AC = v и EF - средняя линия. Вырази EF через u и v .

Решение. Поскольку EF есть средняя линия, то AE = 0.5u , AF = 0.5v . Отсюда получаем EF = AF - AE = 0.5v - 0.5u = 0.5(v - u) . Но v - u = BC и поэтому EF = 0.5BC . Т.е. средняя линия EF параллельна BC и равна половине ее длины.

2. (Рис. 2.18) В треугольнике ABC обозначены u = AB, v = AC , точки K, L на рисунке такие, что выполняются равенства AL = (1/3)AB + (1/4)AC , BK = (2/3)BC . Вырази AK и LK через u , v .

Решение.

AK = AB + BK = AB + (2/3)BC = u + (2/3)(v - u) = (2/3)v + (1/3)u

LK = LA + AB + BK = -((1/3)u + (1/4)v) + u + (2/3)(v - u) = (5/12)v

Какое ты можешь сделать геометрическое заключение ?

3. (Рис. 2.19) В треугольной призме дано : u = A1B1 , w = A1A , v = A1C . K есть середина ребра CB, а M есть точка , для которой A1M = (1/2)A1C1 + (1/2)A1A . Вырази B1K и BM через u , v и w .

Решение. B1K = B1B + BK = B1B + (1/2)BC = B1B + (1/2)(BA + AC) .

Но B1B = A1A = w , BA = B1A1 = -u , AC = A1C1 = v .

Поэтому B1K = w + (1/2)(-u + v) = w - (1/2)u + (1/2)v .

BM = BB1 + B1BA1 + A1M = -w - u +(1/2)(v + w) = (1/2)v - u (1/2)w .

 

2.4#. Операция с векторами , не зависящая от представлений(?)

Мы определили вектор AC = t.AB , как вектор, находящийся на AB и имеющий то же направление, что и AB (если t > 0), t = AC/AB . Это определение нуждается в проверке. (Рис. 2.20) Мы могли выбрать вместо AB вектор EF , представляющий AB , ведь EF = AB и EF находится на AB или на прямой, параллельной ей. Следует показать, что t.EF = EG также равно AC . Иными словами, надо доказать, что умножение вектора на скаляр не зависит от выбора вектора AB или равного ему вектора EF.

Докажем это только для случая, где AB и EF - различные прямые и t > 0 .

Из определения равенства AB = EF вытекает, что отрезки AB и EF имеют одинаковую длину. Поскольку t = AC/AB = EG/EF , то и AC и EG равны по длине, поэтому ACGE - параллелограмм (как четырехугольник с двумя парами параллельных и равных противолежащих сторон); отсюда AC = EG . Иными словами, если AB = EF , то tAB = tEF . Поскольку EF также является представлением вектора u =AB , мы доказали утверждение, что произведение не зависит от представления .

(Рис. 2.21) В определении суммы двух векторов u = AB и v = CD мы перемещали вектор CD в точку B так, что v = CD = BE ; получился вектор

w = AE , который является суммой u + v . И здесь мы могли вместо AB выбрать другой вектор A0B0 , который также является представлением вектора u , а

вместо CD - вектор B0E0 , другого представителя вектора v. Согласно определению суммы теперь A0E0 есть сумма u + v . Необходимо показать, что два вектора AE и A0E0 равны между собой, т.е. сумма двух векторов не зависит от представления векторов. Это можно доказать, опираясь не основные теоремы пространственной геометрии ( а читатель может доказать это на плоскости) ; мы примем это утверждение без доказательства.

 

2.5. Упражнения

1. (Рис. 2.22) В треугольной призме есть 3 пары равных векторов и тройка одинаковых векторов. Запиши их.

2. (Рис. 2.23) Ребра параллелепипеда подразделяются на три группы равных векторов. Запиши их.

3. (Рис. 2.24) В правильном пятиугольнике(см. рис) найди векторы, которые равны : a). AB ; b). EF ; c). DF .

4. (Рис. 2.25) Перед тобой параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . a). Найди векторы, равные суммам A1B1 + B1C1 , A1B1 + AD . b). Покажи, что D1A = C1B .

5. В параллелепипеде из упражнения 4 обозначены DC = u , DA = v , DD1 = w . Вырази с помощью u , v , w векторы : a). AB1 ; b) BB1 ; c) CA1 .

6. (Рис. 2.26) В треугольной призме(см. рисунок) u = A'B' , v = A'C' , w = A'A