Make your own free website on Tripod.com

אנה ספרד, חנה פרל, פרופ' שמשון עמיצור, פרופ' מיכאל משלר . עריכה ד"ר פעול כץ

אנליזה, ארבעה וחמש יחידות לימוד, כרך ראשון

АНАЛИЗ - четыре и пять единиц обучения. Том первый

Под редакцией д-ра Пауля Каца

Введение

Программа на 4 и 5 "йехидот" включает две обязательные части алгебру и анализ, а также разделы по выбору и дополнения по геометрии. Эта книжка соответствует требованиям программы по анализу. Первый том включает материал, изучаемый в классе "йуд" за исключением темы "рациональные функции", необходимой для 4 "йехидот" главы "Рациональные функции". Находится в следующем томе и более обширное изучение тригонометрии по программе 4 единиц, т.к. содержит применения тригонометрии для задач, связанных с геометрическими телами. Эта тема включена в настоящий том, но ученики на 5 единиц пропускают ее на данном этапе. Они будут изучать ее в классе "йуд-бет".

Материал этой книги знаком учителям, но подход к обучению отличается от предыдущего. Основное отличие в том, что понятие производной базируется на понятии линейного приближения функции, а не на понятии предела (хотя и определение прозводной на основе предела дается в дальнейшем). Две причины подвигли нас к такому подходу.

Первая - дидактическая: определение производной с помощью пределов требует понятий из теории пределов, которые не соответствуют уровню класса "йуд". Есть альтернативная возможность дать понятие предела на интуитивном уровне, но по нашему мнению это не соответствует обучению по программе на 4 и 5 единиц.

Вторая причина более математическая: при этом подходе можно раскрывать дифференциальное исчисление в форме более логичной и без опоры на туманные понятия. Изменение более важное в этой книге состоит в том, что перед нами единый блок глав анализа, а не подразделение на разделы вроде тригонометрии, дифференциального исчисления и т.д., как это было принято раньше.

Этот подход приводит к тому, что ученик усваивает понятие, например синуса, как понятие периодической функции, а не как вычислительное средство для решения треугольников.

Учитель, переходящий на обучение по этой программе, найдет, что ряд тем, которые подробно рассматривались прежде, теперь сильно сокращены. Среди этих тем тригонометрические тождества, различные вычисления в аналитической неометрии и т.д. ...

 

Глава 1. Степенная функция

1.1.Понятие функции

Математический анализ есть дисциплина, которая в основном занимается исследованием функций. Прежде мы уже занимались функциями; теперь следует расширитть наши знания в этой области благодаря знакомству с новыми функциями и изучению более совершенных методов их исследования. Мы будем заниматься только функциями, отображающими бесконечные числовые множества в множества чисел.

Пример: f : R R

f : x 4x2 + 5

R обозначает множество всех чисел. Здесь область существования функции есть множество всех чисел, и также область значений функции есть множество всех чисел; а закон отображения таков: x 4x2 + 5

Вопрос . Каковы значения функции f для [значений x] 1 и -1/2 ?

Ответ. Для 1 значение функции f(1) = 412 + 5 = 9, для -1/2 f(-1/2) = 4(-1/2)2 + 5 = 6

Пример: g : R - {5} R

g : x (5x + 3)/(x - 5) + 7

Здесь область существования функции есть R - {5} , т.е. множество всех чисел отличных от 5, а область значений функции есть множество всех чисел . Закон отображения есть x (5x + 3)/(x - 5) + 7.

Вопрос . Каково значение этой функции для 0.6 ?

Приняты различные формы записи закона отображения. Возможны обозначения :

x 3x + 2 ( говорим : x отображается в 3x + 2)

f(x) = 3x + 2 ( говорим : f(x) равно 3x + 2)

y = 3x + 2 ( говорим : y равно 3x + 2; у есть переменная значений функции)

Все они имеют одно и то же значение.

С целью сокращения записи условимся :

Если область значений функции есть R, а область ее определения есть множество допустимых значений1 для выражения, описывающего закон отображения, можно опускать детальную запись области существования функции и области ее допустимых значений.

По этому соглашению вместо подробной записи

f : R R

f : x 4x2 + 5

будем говорить коротко : функция f : x 4x2 + 5 ( или функция f(x) = 4x2 + 5 , или функция 4x2 + 5).

Аналогично в формулировке функция g(x) = (5x + 3)/(x - 5) + 7 подразумевается функция с областью определения(существования) R - {5}, областью значений R и законом отображения g(x) = (5x + 3)/(x - 5) + 7 .

Каждой функции соответствует ее график. График функции f есть совокупность точек ( x ; f(x) ) на плоскости с заданной системой координат. График функции подготавливается с помощью таблицы.

Пример. Для нахождения графика функции f(x) = x2 составляют таблицу :

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y

9

4

1

0

1

4

9

16

Подразделения подготовки графика :

1.Чертим оси координат.

2.В системе координат наносим точки (х, у) из таблицы.

3.Через эти точки от руки проводим по возможности гладкую кривую.

___________

1 Область (или множество) допустимых значений алгебраического выражения есть множество всех чисел, которые можно подставлять в это выражение. Так, например, число 5 не входит в множество допустимых значений выражения (5x + 3)/(x - 5) + 7, потому что число (55 + 3)/(5 - 5) + 7 не существует.

Р и с. 1.1

 

Из графика функции f(x) = x2 видно, например, что значение функции в точке 2.5 немного больше чем 6 (факт, который, конечно, можно обнаружить и без графика).

Основное назначение графика в том, что он дает возможность рассмотреть поведение функции в целом.

 

1.2. Степенная функция с четным показателем степени

Рассмотрим семейство функций, отображающих множество всех чисел во множество всех чисел и имеющих закон отображения y = xn .

Здесь n есть натуральное число, т.е. член множества {1, 2, 3, ...} . Указанное семейство включает функции вроде: f(x) = x2 (здесь n=2); g(x) = x (здесь n=1);

h(x) = x15 (здесь n=15).

Функция, отображающая множество всех чисел во множество всех чисел и имеющая закон отображения y = xn , называется степенной функцией. Число n назывется показателем степени.

Займемся сперва функциями с четным показателем степени (т.е. 2, 4, 6 и т.д.). Подготовим для примера таблицы и графики функций x2, x4, x6.

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x2

4

2.25

1

0.25

0

0.25

1

2.25

4

x4

16

5.0625

1

0.0625

0

0.0625

1

5.0625

16

x6

64

11.390

1

0.01625

0

0.01625

1

11.390

64

Р и с. 1.2

С помощью графиков можно изучить различные свойства степенных функций с четным показателем.

1. Все графики находятся выше оси х и касаются ее в единственной точке - в начале координат. Отсюда следует вывод, что функции принимают исключительно неотрицательные значения и наименьшим значением этих функций является 0.

Эти факты проверены пока что только для функций x2, x4, x6 . Верны ли они для любой степенной функции с четным показателем ? Поскольку мы не можем начертить все графики таких функций нам следует выяснить : возможно ли проверить свойство неотрицательности значений функции и без использования графика ? Снова обратись к этому вопросу и докажи свойство 1.

2. Все графики симметричны относительно оси у. Иначе говоря : если поставить зеркало вдоль оси у , отражением каждого из этих графиков в зеркале будет его собственное отображение 1. И снова спрашиваем : как можно проверить это свойство без использования графика ?

Ответ. Рассмотрим, к примеру, функцию x4 . Смысл свойства ее симметрии относительно оси у заключается в том, что все значения функции в точках х и в точках равны (объсни - почему !).

Или в виде соотношения : для всех х

f(x) = f(-x)

И действительно для всех х

x4 = (-x)4 .

__________

1 Говорят, что точка В есть отражение точки А относительно прямой L , если L есть срединный перпендикуляр отрезка АВ. Фигура S называется симметричной относительно прямой L , если отражение ее точек в L дает ту же самую фигуру.

 

L именуется осью симметрии .

Определение. Функция , для которой выполняется равенство 1

f(x) = f(-x) ,

называется четной функцией 2 .

Из сказанного выше следует, что график любой четной функции симметричен относительно оси у. И верно также обратное утверждение: функция, график которой симметричен относительно оси у, является четной функцией.

Вопрос. Какие из функций, изображенных ниже, являются четными. Отвечай исходя из рассмотрения графиков.

Р и с. 1.3

Резюме. Степенные функции с четным показателем являются сами четными. В сответствии с этим их графики симметричны относительно оси у.

3.До сих пор мы изучили несколько общих свойств степенных функций с четным показателем. Теперь проверим в чем их поведение отличается. Совместим теперь все три графика в одной системе координат.

Р и с. 1.4

Рассмотрим чертеж. У всех трех графиков есть три общих точки: (-1,1), (0,0), (1,1).

Вопрос. Как подтвердить это свойство без рассмотрения графиков ?

Первые координаты трех указанных точек делят ось х на четыре множества :

а) полупрямая (1, oo), т.е. {x| 1 < x }.

б) отрезок (0, 1 ), т.е. {x| 0 < x < 1}.

в) отрезок (-1, 0), т.е. {x| -1 < x < 0}.

г) полупрямая (-oo, -1), т.е. (x| x < -1}.

Указание. Когда пишут отрезок (1, 3) , подразумевают множество точек между 1 и 3 без самих пограничных точек, т.е. без 1 и без 3. Такой отрезок(интервал) называют открытым.

Сравним поведение этих функций в пределах четырех указанных интервалов.

а) Полупрямая (1, oo). Из чертежа видно, что в любой точке полупрямой значение функции тем больше, чем больше ее показатель. Иными словами, x2< x4< x6 < ....

Вопрос. Ты смог бы объяснить, почему это свойство верно ?

а) Отрезок (0, 1 ). Здесь обратное поведение функций : в любой точке отрезка значение функции тем меньше, чем больше ее показатель. Иными словами, x2 > x4 > x6 > .... для всех 0 < x < 1 .

Р и с. 1.5

Вопрос. Ты смог бы аргументировать это утверждение ?

в) Отрезок (-1, 0). г) Полупрямая (-oo, -1).

Благодаря свойству симметричности графиков поведение функций в отрезке (-1, 0) подобно их поведению в отрезке (0, 1), а поведение функций на полупрямой (-oo, -1) подобно ее поведению на полупрямой (1, oo) .

Резюме. Предположим, что p и q натуральные четные числа и p < q . Для -1 < x < 1 действует отношение хp > хq ; для x > 1 и для x < -1 действительно хp < хq .

1.3. Степенная функция с нечетным показателем

Подготовим теперь для примера таблицы и графики функций x, x3, x5.

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x3

-8

-3.375

-1

-0.125

0

0.125

1

3.375

8

x5

-32

-7.59375

1

-0.0312

0

0.0312

1

7.59375

32

Р и с. 1.6

__________

1Мы полагаем, что если функция определена для х, она также определена для -х, иначе говоря, полагаем, что и область существования функции симметрична относительно оси у.

2Название функции(четная) как бы исходит из того , что показатель степенной функции является четным. Далее мы познакомимся с другими четными функциями, показатели которых не будут четными (например, у = х).

 

Что мы сможем извлечь из трех этих графиков ?

1. Вот общее свойство всех трех графиков : если перемещать палец вдоль графика слева направо , то он будет все время подниматься. Иначе, если движемся слева направо, т.е. в положительном направлении оси х , значения функции возрастают. Это свойство вытекает из известного алгебраического свойства :

Если n нечетное натуральное число и если a < b, то an < bn .

Это приводит нас к понятию возрастания функции в области ее существования.

Определение. Говорят, что функция возрастает в некоторой области, если для любых a и b в этой области

a < b f(a) < f(b)

(Знак именуют буксиром и смысл его заключается в том, что всякий раз, когда действительно левое соотношение , выполняется и правая часть).

Резюме. Степенная функция с нечетным показателем возрастает во всей области ее определения.

А вот если рассмотреть степенные функции с четными показателями (x2, x4, x6), то увидим, что они не возрастают во всей области их определения.

Вопрос.Ты можешь указать на отрезок или полупрямую, где x2, x4, x6 возрастают ?

Ответ. Все графики возрастают в пределах полупрямой (0, oo) , т.е. если n четное натуральное число , то 0 < a < b an < bn

В пределах полупрямой (- oo, 0) функция не возрастает. Здесь график убывет при движении вправо. Т.е. если если n четное натуральное число , то

a < b < 0 an > bn

Определение. Говорят, что функция f убывает в некоторой области, если для всех a и b в этой области

a < b f(a) > f(b)

Резюме. Степенная функция с четным показателем возрастает на полупрямой (0, oo) и убывает на полупрямой (-oo, 0).

2. Вопрос. Являются ли четными функции x, x3, x5 ?

Ответ. Графики не являются симметричными относительно оси у, поэтому эти функции не являются четными. И все-таки перед нами здесь другой вид симметрии.

Р и с. 1.7

Вопрос. а) Выбери по своему усмотрению точку (a, b) на графике х3 и проведи прямую линию через нее и начало координат. Прямая пересечет график во второй точке (х, у) . Что ты можешь сказать об ее координатах ?

б) Повтори это действие несколько раз всякий раз для другой точки на графике.

в) Осуществи это же действие для функции х5 . Сможешь обобщить результаты ?

Если ты смог выполнить эти действия точно, то убедился, что во всех случаях :

если обозначить выбранную точку (a, b), то вторая точка пересечения прямой с графиком есть (-a, -b) . Это свойство именуется симметрией относительно начала координат.

Определение. Линия называется симметричной относительно начала координат , если для любой точки (a, b), находящейся на линии, также и точка (-a, -b) находится на ней.

На рисунке изображена функция f . График функции симметричен относительно начала координат. Как перевести этот факт на язык алгебры.

Р и с. 1.8

Симметрия графика функции относительно начала координат свидетельствует о том, что для двух любых противоположных чисел х и -х, функция также принимает противоположные значения. Т.е. для любого х в этом случае

f(-x) = -f(x)

Определение.Функция1 называется нечетной2, если для любого числа х: f(-x)=-f(x) .

Мы видели, что график функции x3 симметричен относительно начала координат. Отсюда следует, что для любого х имеет место (-x)3 = - x3 . И действительно в этом легко убедиться алгебраическим путем (как ?). Отсюда вытекает, что функция x3 нечетная.

Тем же путем можно показать, что любая степенная функция с нечетным показателем есть функция нечетная.

3.Рассмотрим графики , которые изображены в одних координатных осях. Ответь

на следующие вопросы : Р и с. 1.9

а) Какой из графиков описывает какую функцию ?

б) Какие у трех этих графиков есть общие точки ?

в) Сравни поведение трех функций в каждом из следующих интервалов : полупрямая (1, oo), отрезок (0, 1 ), отрезок (-1, 0), и полупрямая (-oo, -1) . Сможешь ли ты обобщить полученные результаты на все степенные функции с нечетным показателем.

 

1.4. Упражнения

1. Какова область существования каждой из функций приведенных ниже ? ( По соглашению область существования функции равна области допустимых значений выражения, описывающего закон отображения).

a) y = 2x - 1 ; b) y = 2 - 1/x ; c) y = (x2 - 1)/(x2 - 4) ; d) y = 1; e) y = x/x;

f) y = 5/(x3 + 1) ; g) Если x > 1, то y = 3x , а если x 1, то y = 1 - x ; h) y = 1/(x- 2) .

2. На чертеже изображен график функции, область существования которой есть отрезок [-1 ,5] ; квадратные скобки в описании отрезка обозначают, что мы имеем дело с замкнутым отрезком, т.е. такой отрезок включает свои края :

[-1, 5] = { x| -1 x 5 }

Р и с. 1.10

Область значений функции есть R. С помощью графика ответь на следующие вопросы :

a, b) Каково значение f(0)/f(1.5) ? c) Каковы значения f(-1) , f(3) ? d, e, f)Сколько решений имеет уравнение f(x) = 2 / f(x) = 1 / f(x) = 0 и каковы они ? g,h) Каково наименьшее/наибольшее значение функции и в какой точке оно получено ?

3. У функций , которые изображены на рисунках, те же область существования и область значений, что у функции f из упражнения 2. Для каждой из этих функций ответь на вопросы a - h из предыдущего упражнения.

Р и с. 1.11

4. Дано множество A = [-5, 5]. Начерти координатные оси. В качестве единицы на каждой из осей возьми отрезок в 2 клеточки. Нарисуй график функции f : A R , у которой : а) значения f отрицательны для х > 3 ; б) значения f положительны для х < 3 ; в) наибольшее значение f равно 2 в точке х = -2 .

5. Начерти график функции x2 в интервале [-2, 2] ; для удобства разметь обе оси единицами в четыре клеточки. С помощью графика ответь на вопросы : a) Каковы (приблизительно) значения (0.75)2, (-4.3)2, (0.6)2 ? b) Каковы (приблизительно) решения уравнений х2 = 2, х2 = 3 ? c*) Каково множество истинности неравенства х2 2 ?

6. Начерти график функции x3 в интервале [-2, 2] ( разметь обе оси единицами в пять клеточек). С помощью графика ответь на вопросы : a) Каковы (приблизительно) значения (0.75)3, (-4.3)3, (0.6)3 ? b) Каковы (приблизительно) решения уравнений х3 = 2, х3 = 5 ? c*) Каково множество истинности неравенства х3 2 ?

____________

1Мы полагаем, что область существования функции симметрична относительно начала координат, т.е. если х находится в этой области, то и принадлежит ей.

2Такое имя установлено, потому что функции x, x3, x5 , .... являются нечетными. Ясно, однако, что существуют и другие нечетные функции, обладающие этом свойством и не являющиеся степенными функциями.

 

7. Заполни таблицу для интервала [-2, 2] :

 

х2

х3

Знак функции, когда х > 0

 

 

Знак функции, когда х < 0

 

 

Интервал, где функция принимает положительные значения

 

 

Интервал, где функция принимает отрицательные значения

 

 

Наименьшее значение функции

 

 

Точка х, в которой находится наименьшее значение функции

 

 

8. Даны графики функций х , х2 , х3 , х4 . Р и с. 1.12

a) Определи соответствие графиков этим функциям .

b) Опираясь на чертеж дополни следующие соотношения выражениями х , х2 , х3 , х4 в соответствующих клеточках : 1). Если х > 1 , то < < < ;

2). Если 0 < х < 1, то < < < ; 3). Если -1 < х < 0, то < < < ; 4). Если х < -1, то < < < .

с) Повтори предыдущую часть упражнения для х, х2 , х3, х4. Опирайся на чертеж или алгебраические соображения.

9. Верно или нет ? Аргументируй свои ответы. a) Если a < b , то a3 < b3 ; b) Если a < b , то a4 < b4 ; c) Если m < n , то 2m < 2n ; d) Если m < n , то (1/4)m < (1/4)n ; e) Множество общих точек всех графиков степенных функций есть {(-1 ; -1), (0 ; 0), (1 ; 1) } ; ) Множество общих точек всех графиков степенных функций с нечетным показателем есть {(-1 ; -1), (0 ; 0), (1 ; 1) } ; g) Множество общих точек всех графиков степенных функций с четным показателем есть {(-1 ; -1), (0 ; 0), (1 ; 1) } .

10. Какие из функций, изображенных на чертеже, являются четными ?

Р и с. 1.13

11. Скопируй к себе в тетрадь один из следующих чертежей и дополни его так, чтобы получился график четной функции.

Р и с. 1.14

12. Какие из следующих функций являются четными ?

a) y = 5x ; b) y = 5x + 1 ; c) y = 3x2 ; d) y = |x|; e) y = |x|3 ; f) y = x + |x| ; g) y = x|x| ; h) y = x3 + x ; i) y = x3 + x2 ; j) y = x/|x|; k) y = |x + 1| ; l) y = (x2 + 1)/x4 .

13. Какие из функций, приведенных в упражнении 10, являются нечетными ? А какие не являются ни четными , ни нечетными ?

14. Скопируй к себе в тетрадку один из чертежей упражнения 11 и дополни его так, чтобы получился график нечетной функции.

15. Какие из функций упражнения 12 - нечетные ? А какие не являются ни четными , ни нечетными ?

16. На следующих чертежах изображены функции, определенные в интервале [-5 ,5]. Опираясь на чертеж установи, в каком интервале возрастает каждая из этих функций, а в каком она убывает.

Р и с. 1.15

17. Какие из следующих линейных функций возрастающие , а какие - убывающие ?

a) y = 3x + 1; b) y = 3x - 1 ; c) y = 1 - 2x ; d) y = 2 - 0.5x; e) y = -0.6x + 1 ; f) y = 0.75x ; g) y = x ; h) y = (2x -1)/4 ; i) y = x/3 .

18. Начерти график функции y = -x2 . С его помощью ответь на следующие вопросы : a) В каком интервале функция возрастает, а в каком убывает ? b, c) Существует ли у функции наибольшее/наименьшее значение, каково оно и как оно получается ?

19. Все условия задачи и вопросы как в упражнении 18, только функция y =|x| .

20.Все условия задачи и вопросы как в упражнении 18, только функция

f : R+ - {0} R (R+ это множество неотрицательных чисел)

y =1/x

21. Сведи свойства степенных функций в таблицу :

Степенная функция с ...

Область сущест-

вования

Интервал

возраста-

ния

Интервал

убывания

Наимень-шее зна- чение

Точка наимен.

значен.

Функция

четная или

нечетная

четным показателем

 

 

 

 

 

 

нечетным показателем

 

 

 

 

 

 

 

Дополнительные упражнения

22. Дана линейная функция y = ax + b . Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты a и b, чтобы функция была возрастающей / убывающей ?

23. Найди функцию, которая одновременно и четная и нечетная.

24. Известно, что функция f возрастает в интервале (0, oo) и она четная . Что ты можешь сказать о поведении f в интервале (-oo, 0) , она убывает или возрастает?

25.На рисунке даны графики функций f , g , h , область существования которых

есть интервал [-5 ,5]. Для каждой из функций ответь на следующие вопросы :

Р и с. 1.16

a) Для каких значений х значение функции равно 1 и 4 ? b) Каковы наибольшее и нгаименьшее значения функции и где они находятся ? c) Функция четная или нечетная? d) Где функция возрастает и где она убывает ?

26. Дано множество A = {x : -2 х 2 } . Подготовь систему координат(единица на обеих осях равна четырем клеткам) и нарисуй график функции f : A A , которая отвечает следующим требованиям: а) Функция возрастает в интервале (0,1) и убывает в интервале (1, 2) ; б) f(1) = 2 и f(0.5) = 1.5 ; в) Функция принимает наибольшее значение в точке 1, а наименьшее значение в точке 2 ; г) Функция - четная.

27. Дано множество B = {x : -3 х 3 } . Подготовь систему координат(как в упражнении 26) и нарисуй график функции g : B B , которая выполняет следующие условия:

а) g(x) < 0 для 0 < x < 2 ; б) g(x) > 0 для 2 < x < 3 ; в) g возрастает в интервале (1,3) ;

г) g(0.5) > g(1.5) ; д) функция - нечетная.

27. Дана функция f(x) = x3 + 2x2 + x . Подготовь две системы координат (единицы на осях равны трем клеткам). a) Заполни таблицу :

x

-2

-1

0

1

2

f(x)

 

 

 

 

 

b) По таблице построй график f . c) Заполни расширенную таблицу для значений х : -2, -1, -2/3, -1/3, 0, 1/3, 2/3, 1, 2 . d) И по этой таблице построй график f . e) Тождественны ли два графика, которые ты получил ? Если есть различия - из-за чего они возникают.

 

 

Глава 2. Функция корня n - ной степени

2.1. Обратная функция

Напомним понятие обратной функции.

Пример. Рассмотрим функцию f : R R , y = 2x + 1.

И изобразим диаграмму ее отображения. Р и с. 2.1

А теперь перевернем стрелки. Получится диаграмма : Р и с. 2.2

Обрати внимание : теперь числа на нижней оси отображены числами на верхней. Из диаграммы видим, например, что : 3 отображено числом 1(потому что f отображает 1 числом 3) ; -7 отображено числом -4(потому что f отображает -4 числом -7).

Возникает вопрос является ли новая диаграмма диаграммой функции. Или в более общей форме : дана функция - при каких условиях перемена направления отображения приводит к функции. Далее мы увидим, что в этом процессе мы не всегда получаем функцию.

 

Пример. Даны множества A = {a, b, c, d} , B = {p, r, s, t, u} и дана функция f от A к B. Р и с. 2.3

Переворачиваем стрелки : Р и с. 2.4

В последней диаграмме отображением элементов В являются элементы А. Эта диаграмма не описывает функцию, потому что в множестве В без отображения остался элемент r . Это произошло потому , что у этого элемента области допустимых значений В исходной функции f не было источника. Последний пример говорит о том, что перемена направлений стрелок функции f приведет нас к функции только, если у любого элемента области значений f есть источник. Иными словами, существование источника (хотя бы одного) у каждого элемента области значений f есть обязательное условие получения функции после обращения.

Но это условие не является достаточным.

Пример. C = { a, b, c, d, e } , D = { p, r, s, t } и f есть функция от С в D (см. диаграмму).

Р и с. 2.5

Мы видим, что у каждого элемента в области значений D есть по меньшей мере один источник. Переменим теперь направления стрелок. Видим, что и здесь не

Р и с. 2.6

получается функция, потому что элемент r из D отображен здесь в двух элементах множества С. Это произошло потому , что у этого элемента области значений исходной функции f было два источника. Последний пример говорит о том, что перемена направлений стрелок функции f приведет нас к функции только, если у каждого элемента области значений f есть максимум один источник.

Резюме. Из двух последних примеров вытекают два обязательных условия получения функции вследствие перемены направления стрелок : а) у каждого элемента области значений функции должен быть минимум один источник;1 б) у каждого элемента области значений функции должен быть максимум один источник.2 Два этих условия объединяются в одну теорему : Чтобы в результате перемены направления стрелок функции f получилась функция, необходимо наличие у каждого элемента области значений f ровно одного источника.

Функция, которая получается в результате поворота стрелок функции, называется функцией обратной f . Можно видеть, что необходимое для существования обратной функции условие, является также и достаточным. Т.е. если у каждого элемента в области значений f есть ровно один источник, то у f есть обратная ей функция (см. упражнение 21 в разделе 2.4).

Вернемся к функции f , описанной в начале этого раздела. Эта функция отображает R на R и закон ее отображения у = 2х + 1 . Получается ли функция в результате поворота стрелок функции f (иными словами - есть ли у f обратная ей функция)? И если да - то какая она ? Чтобы ответить на первую часть вопроса, необходимо проверить есть ли у каждого элемента области значений функции ровно один источник. Воспользуемся графиком функции f . График этот есть прямая линия не параллельная осям координат, поэтому каждая прямая параллельная оси х пересекает график только в одной точке. Из этого вытекает, что каждому элемента у области значений f соответствует единственный элемент х в области существования (см. рисунок). Отсюда следует, что у f есть обратная функция, котрую обозначим g. Р и с. 2.7

Область существования и отображения g есть R - g : R R .

Установим закон отображения g. Закон отображения исходной функции f: y=2x+1 .

___________

1О функции, которая удовлетворяет этому условию, говорят что она отображает область существования на область значений.

2О функции, которая удовлетворяет этому условию, говорят что она отображает область существования в область значений отображением один к одному (обозначение : отображение 1 - 1).

 

Чтобы найти закон отображения g , подставим в это уравнение у вместо х и х вместо у (ведь х и у меняются теперь своими назначениями) : х = 2у + 1. Чтобы представить закон в принятой форме, найдем выражение для у : у = (х -1)/2 .

В такой форме мы получили закон отображения обратной функции g. Мы можем его записать и так : g(x) = 0.5x - 0.5 .

 

2.2. Функция х

Р и с. 2.8

Рассмотрим теперь степенную функцию : f : R R , f(x) = x2 .

Видим, что любая прямая , проходящая над осью х и параллельная ей : пересекает график в двух различных точках . Это объясняется тем, что у каждого положительного числа есть два различных источника. Например, источниками 9 являются числа 3 и -3. (Ты можешь прийти к этому заключению без использования графика ? ). С другой стороны любая прямая , проведенная под осью х и параллельная ей, не пересекает график ни в одной точке. Это объясняется тем, что у любого отрицательного числа нет источника согласно f . Например, у -4 нет источника. (Ты можешь прийти к этому заключению без использования графика ? ).

Отсюда следует, что у степенной функции f : R R , f(x) = x2 нет обратной ей функции.

Рассмотрим другую функцию с тем же законом отображения : h : R+ R+, h(x) = x2

(напомним, что R+ есть множество неотрицательных чисел , т.е. (R+ = {x| x 0} .

Р и с. 2.9

Изучим свойства этой функции по ее графику. Любая прямая , проходящая над осью х и параллельная ей : а) пересекает график ; б) пересекает ее в одной точке. Это объясняется тем, что любое неотрицательное число есть отображение согласно h единственного неотрицательного числа. Например, источником 9 является 3, а источник у 4 есть 2. Отсюда следует, что существует функция обратная h .

Закон отображения этой обратной функции принято обозначать так : х х .

Отсюда функция g : R+ R+ , g(x) = x есть функция обратная h.

x называют корнем квадратным из х. Из определения функции корня следует:

Если х неотрицательное число, то x есть единственное неотрицательное число, квадрат которого равен х. Т.е. : x = у, если у есть такое неотрицательное число, что у2 = х .

Обрати внимание : в соответствии с определением функции корня выражение (-4) лишено смысла ! 4 это 2, но не -2 !

Объясним теперь, как можно получить график g(x)=x из графика функции h(x)=x2.

Функция h отображает точку а на оси х в точку b на оси у, т.е. h(a) = b :

Рис. 2.10

g есть функция обратная функции h . Поэтому g отображает точку b в точку а, т.е. g(b) = a : Рис. 2.11

Принято обозначать через х переменную функции, а значение функции отмечать на оси у. Поэтому переменим имена осей : Рис. 2.12

Обычно вертикальной осью является у, а горизонтальной - х. Поэтому повернем систему координат на 90 против часовой стрелки вокруг начала координат: Рис. 2.13

Также принято, чтобы ось х была направлена вправо, поэтому повернем систему координат вокруг оси у на 180 : Рис. 2.14

Таким образом мы получили график функции x в принятой форме. Снова нарисуем в этих же осях координат функцию h : Рис. 2.15

Видим, что график x есть отражение графика h относительно прямой у = х . И действительно можно доказать следующую общую теорему :

График функции обратной функции f есть отражение f относительно прямой у = х .

(Для доказательства смотри дополнительное упражнение 6).

Рассмотрим теперь степенную функцию : f : R R , f(x) = x3 . Рис. 2.16

Любая прямая параллельная оси х : а) пересекает ее график; б) пересекает его в одной точке. Это объясняется тем, что у любого элемента области значений f есть ровно один источник. Отсюда следует , что у x3 существует обратная функция. И закон отображения этой обратной функции принято обозначать у = 3х .

Поэтому функция g : R R , g(x) = 3х

есть функция обратная функции x3. Функцию 3х назвают корнем третьей степени (или - кубическим корнем) из х. Отсюда следует :

Если х есть число, то 3х есть число(единственное) третья степень которого равна х. Иначе говоря, если у = 3х , то у3 = х.

График функции 3х получим из графика функции х3 с помощью его отражения относительно прямой у = х. Рис. 2.17

У понятия 3х и его вычисления есть важные теоретические и практические аспекты. Продемонстрируем это.

Вопрос. Объем куба равен 1000 см3 . Какова длина его ребра ?

Ответ. Объем куба N равен третьей степени длины его ребра а в соответствующих единицах, т.е. N = a3 . Отсюда длина ребра равна корню кубическому из объема, т.е

a = 3N . В нашем случае длина ребра есть 31000 см, т.е. 10 см.

Вопрос. Каков закон отображения функции, устанавливающей для любого неотрицательного числа х длину ребра куба, объем которого равен х.

 

2.3. Функция nх

Из свойств степенных функций х2 и х3 и из подобия со свойствами других степенных функций следует несколько заключений :

а. Если n есть натуральное нечетное число, то у степенной функции хn существует обратная ей функция. Закон отображения обратной функции обозначают у = nх .

Функция f(x) = nх , когда n есть нечетное число, определена над множеством чисел.

б. Если n есть натуральное четное число, то у степенной функции хn нет обратной ей функции. Функция nх для четного n определена как обратная к функции g : R+ R+ , g(x) = xn

Поэтому если n есть натуральное четное число, то nх определена только над множеством неотрицательных чисел.

nх называют корнем n-ной степени из х .

Обрати внимание : Если n число четное , то корень n-ной степени из х определен только для неотрицательных чисел ; если n число нечетное , то корень n-ной степени определен для любого х.

Из определения функции корня n-ной степени следует, что

 

 

 

а. Если n есть натуральное нечетное число, то nх для любого х равен числу, n-ная степень которого равна х (т.е. nх = у, если уn = х) .

б. Если n есть натуральное четное число, то nх для любого неотрицательного х равен неотрицательному числу, n-ная степень которого равна х (т.е. nх = у, если у неотрицательное и уn = х) .

Вопрос. У каких из следущих выражений есть смысл, а у каких нет ? Каково значение тех из них, что имеют смысл ? a) (-4) ; b) 4(-1.2) ; c) 3(-8) ; d) 481 ; e) -(-4); f) -4 ; g) ((-3)2) ; h) 4((-9)2) ; i) 2); j) 30; k) 40.

 

2.4. Упражнения

1. Даны множества : A = {a, b, c, d} , B = {p, r, s, t, u} , C = {p, r, s, t} .

Ниже изображены диаграммы стрелок трех функций от А на В или на С .

Рис. 2.18

f : A B (3) g : A B (2) h : A C (1)

 

Для каждой из функций ответь на следующие вопросы : а) Каковы значения функции для а и с ? b) Определи источники r , s , t . c) Переверни стрелки - получил ли ты диаграммы функций ?

2. Дана функция f(x) = x4 . Область ее значений есть R. a) Какова область существования функции ? b) Определи источники 0, 1, -1. c) Верно ли утверждение, что у любого элемента области значений f есть как минимум один источник. d) Верно ли утверждение, что у любого элемента области значений f есть не более одного источника.

3. Дана функция f(x) = x5 . Область ее значений есть R. a) Какова область существования функции ? b) Определи источники 0, 1, -1. c) Верно ли утверждение, что у любого элемента области значений f есть как минимум один источник. d) Верно ли утверждение, что у любого элемента области значений f есть не более одного источника.

4. На чертеже изображено 6 функций, область существования которых и область значений есть закрытый интервал [-2, 2] . Рис. 2.19

Проверь для каждой из функций верны ли утверждения : a) У каждого элемента области значений есть как минимум один источник. b) У каждого элемента области значений есть не более одного источника. c) Для заданной функции существует функция обратная.

5.Покажи, что у следующих функций (R R) нет обратных функций.

а)y = |x| ; b) y = x8; c) y = x4 +4x2 ; d) y = x2 + x; e) y = 3; f) y = x2 + 4x -12 ;

g) y = x2 + 2x +1 ; h) y = (x - 5)4 ; i) y = |x|/x .

Указание. Достаточно показать, что есть в области значений элемент с различными источниками.

6.Определи обратные функции для следующих функций :

a). f : R R , f(x) = 2x ; b). g : R R , g(x) = -x ; c). h : R+ R+ , h(x) = 1/x ;

7. Заполни таблицу и начерти с ее помощью график функции х в интервале [0,2] .

х

0

0.25

0.5

0.75

1.00

1.25

1.5

1.75

2.00

х

0

0.5

 

 

 

 

 

 

 

8. Построй таблицу значений функции 3х в области определения [-2 , 2] и начерти по таблице график 3х в указанной области.

9. Дай пример числа которое меньше его корня квадратного. Каково множество чисел с таким свойством ? Указание. Чтобы ответить на этот вопрос с помощью графика, следует начертить в одних осях графики функций у = х и у = х.

10. На чертеже приведены графики функций х , 3х , 4х ,5х . Рис. 2.20

a) Поставь в соответствие графики этим функциям . b) Где возрастает каждая из функций и где она убывает ? c) Какие из функций четные, а какие нечетные ? d) Почему нельзя говорить о четности или нечетности функций х , 4х ? e) Заполни пропуски в соответствующих клетках соотношений выражениями х , 3х , 4х ,5х : 1). Для любого х > 1 < < < ; 2). Для 0 < х < 1 < < < . f) Необходимо упорядочить функции корня согласно их величины в интервале (-1, 0) и на полупрямой (-oo, -1). Какие из функций корня определены в этих областях ?

11. Сколько решений есть у следующих уравнений , какие они ? а) x3 = 27; b) x3 + 8 = 0; c)x2 - 1 = 0 ; d)x2 + 1 = 0; e)x2 - 2 = 0; f)(x - 1)(x + 1) = 0 ; g)x4 + 3 = 19; h) x(x4 + 1) = x + 32 ; i) x2 = x ; j) x4 = x2 ; k) x3 = а (а произвольное); l) x2 = а (а произвольное) .

Указание. В вопросах k и l необходимо классифицировать ответы согласно свойств а.

12. Верно или нет ? а) 481 = 3; b) Если x4 = 81, то х =3 или х = -3 ; c) множество истинности уравнения x4 = a (a > 0) есть {4a} ; d) a = 22) для любого а ;

e) a = 22) если а 0 , и -а = 22) , если а < 0 .

13. Какие из следущих выражений лишены смысла и почему ? a) 4(-9) ; b) (-9) ; c) ((-3)2) ; d) 3(-2) ; e) 4(-2); f) 30 ; g) 0 ; h) ((-5)4) ; i) ((-5)3) .

14. Чтобы получить картинку нужного размера, выполнили четыре увеличения одно за другим всякий раз в том же отношении. Во сколько раз увеличивали каждый

раз картинку, если масштаб ее в конце был : а) 16 : 1 ; b) 625 ; c) x : 1 .

Дополнительные упражнения

15. Выбери среди функций , описанных в упражнении 4 те, у которых есть обратная функция. Для каждой из этих функций построй график обратной функции с помощью отражения исходного графика относительно прямой у = х.

16. Дана функция f : R R , y = 5 - x . a) Докажи, что существует функция, обратная f , и обозначь ее g . b) Начерти график f . c) Начерти график g (без нахождения закона отражения g) . d) Найди закон отображения g.

17. Дана функция f : R R , f(x) = x4 . a) Существует ли функция, обратная f, и почему? b) Можно ли ужать области существования и допустимых значений f, чтобы у вновь полученной после сжатия функции (назовем ее р) была бы обратная функция ? c) Начерти график р . d) Начерти график функции обратной функции р.

18. Дана функция (R_ = {x| x 0}), s: R_ R+ , s = x2 .

a) Начерти график s . b) Есть ли у s обратная функция ? Аргументируй. c) Если у s обратная функция есть, каков закон ее отображения. Начерти ее график .

19. Дана функция p: R_ R_ , p(x) = -x4 . a) Начерти график p . b) Есть ли у p обратная функция ? Аргументируй. c) Если у p обратная функция есть, каков закон ее отображения. Начерти ее график .

20. Найди множество истинности для каждого из следующих алгебраического выражений. a) (x3 - 4)/3 = 6 ; b) (1000 - 5x7)/60 > 6 ; c) х5 = 16х4 ; d) x6 + 6х3 - 7 = 0 ; e) x8 - 16 х4 - 4 ; f) х4 < 1/16 ; g) х8 < 1/16 .

21. Дана функция f : A B. Докажи, что если каждому элементу в В соответствует ровно один источник в А , то существует функция обратная f .

Указание. Определим g , ставящее в соответствие каждому элементу b из В все элементы А, которые отображаются в b (т.е. все источники b в А).

Докажи, что соответствие g : a) устанавливает каждому элементу В соответствие с хотя бы одним элементом А ; b) не устанавливает ни одному элементу В соответствие с двумя различными элементами А. Из чего следует, что это соответствие есть функция и что у f есть обратная функция.

22. Докажи, что в системе ортогональных координат, точка, симметричная точке (a ; b) относительно прямой у = х , это точка (b ; a) . Указание. Воспользуйся чертежем.

Рис. 2.21

 

Глава 3. Линейное приближение и производная функции xn

3.1.График под микроскопом

До сих пор мы изучали простые функции (вроде х2, х3 и т.п.) с помощью графика, построенного по таблице. Проверим годится ли этот способ для функций более сложных.

Пример. Мы хотим изучить свойства функции f(x) = 2x5 - x + 1 .

Чтобы начертить график , составляем таблицу :

X

-2

-1

0

1

2

F(x)

-61

0

1

2

63

График, построенный по этой таблице, приведен на Рис. 3.1 . График выглядит просто; из него, например, следует , что функция возрастает во всей области своего определения. А в действительности ? В конце концов мы проверили значения функции только в пяти точках. Чтобы преодолеть наши опасения, добавим в таблицу несколько значений.

Х

-2

-1

-0.5

0

0.5

1

2

F(x)

-61

0

1.4375

1

0.5625

2

63

График, построенный по новой таблице ( Рис. 3.2 ) , отличается по своему характеру от первого графика и опровергает утверждение, что функция возрастает во всей области своего определения. Теперь, например, мы видим, что у функции есть два поворота (переходы от подъема к спуску и от спуска к подъему). А в действительности ? И сейчас нет полной уверенности, потому что мы и теперь проверили значения функции лишь в небольшом количестве точек. Возможно, что новый график хорошо отражает свойства функции, но также возможно, что еще одно расширение таблицы приведет к еще более извилистому графику (вроде того, что на Рис. 3.3 ). Если так, то мы стоим перед существенной проблемой : график состоит из бесконечного количества точек, а мы в состоянии вычислить только конечное число значений. Далее мы будем изучать более совершенные методы установления формы графика. Среди прочего мы познакомимся с нахождением точек поворота.

В качестве первого шага знакомства с этим методом представим себе, что разглядываем график под микроскопом. Мы направляем микроскоп на какую-либо точку и осуществляем постепенное увеличение (разрешения). (Слово микроскоп является метафорой : чтобы получить увеличение части графика, составляем соответствующую таблицу функции). Ясно, что при каждом увеличении мы видим только часть графика. Более того : чем больше увеличение, тем меньшую часть графика мы видим ; вместе с тем картина становится более ясной и точной.

До перехода к примеру, поясняющему вышесказанное, определим новое понятие.

Определение. Пусть х0 есть точка на оси х. Окрестностью точки х0 называют открытый интервал, содержащий эту точку. Так , к примеру, интервалы (-0.5 , 0.5), (-0.1, 0.1) , (-0.01, 0.01) и даже (-50 , 50) есть окрестности точки х0 = 0 ; а интервалы (2 , 4) , (2.9 , 3.2) и (2.98 , 3.01) есть окрестности точки х0 = 3.

Обрати внимание : Окрестность точки х0 может быть маленькой или большой ; требуется только, чтобы ее интервал был открытым (без краев) и включал х0 . Для большинства нужд мы заинтересованы в достаточно маленьких окрестностях.

Вернемся к тому графику и микроскопу. Когда направляем микроскоп в точку (x0 , f(x0)), то в ходе последовательных увеличений мы видим соответствующие фрагменты графика в пределах все уменьшающихся окрестностей х0 .

Пример. Пусть имеем дело с той же функцией f(x) = 2x5 - x + 1. Начертим микроскопические картинки окрестностей точки х0 = 0 с увеличением(против рис. 3.1 - 3.3) в 5, 10 и 20 раз.

а. Увеличение в 5 раз. Мы рассмотрим окрестности (-0.8 , 0.8) точки х = 0 и увеличим впятеро соответствующую часть графика. Для этого увеличим в 5 раз масштаб обеих осей и подготовим таблицу значений функции для точек в пределах окрестности. Рис. 3.4

 

х

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

f(x)

1.1446

1.4445

1.3795

1.1994

1.0000

0.8006

0.6205

0.5555

0.8534

б. Увеличение в 10 раз. Увеличение в 2 раза против предыдущего допускает рассмотрение половины предыдущей окрестности, т.е. окрестности (-0.4, 0.4). Запишем для нее таблицу значений. Рис. 3.5

х

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

f(x)

1.3795

1.2951

1.1994

1.1000

1.0000

0.9000

0.8006

0.7049

0.6205

в. Увеличение в 20 раз. Увеличение в 2 раза против предыдущего допускает рассмотрение половины предыдущей окрестности, т.е. окрестности (-0.2, 0.2). В таблице значения функции округлены до 4 цифр после десятичной точки.

Рис. 3.6

х

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

f(x)

1.1994

1.1498

1.1000

1.0500

1.0000

0.9500

0.9000

0.8502

0.8006

Последний рисунок удивляет : график выглядит как прямая линия ! И это несмотря на то, что функция f не является линейной и заданный закон отображения есть алгебраическое выражение с х в пятой степени. Но может быть график f в интервале (-0.2, 0.2) и в самом деле отрезок прямой ? Напомним, что точность чертежа является ограниченной : в последнем чертеже невозможно различить точки, расстояние между которыми меньше 0.005. И это несмотря на то, что мы увеличили масштаб в 20 раз. Поэтому несмотря на то, что таблица содержит (более) точные значения f , мы использовали для чертежа на самом деле значения , округленные до 0.005 . Теперь снова запишем последнюю таблицу и добавим строку приближенных значений, вычисленных с точностью 0.005 .

х

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

f(x)

1.1994

1.1498

1.1000

1.0500

1.0000

0.9500

0.9000

0.8502

0.8006

 

1.200

1.150

1.100

1.050

1.000

0.950

0.900

0.850

0.800

Из рассмотрения таблицы обнаруживается, что в нижней ее строке находятся значения линейной функции у = 1 - х . Иначе говоря , связь между значениями х и между приближенными значениями f является линейной, и возможно ее представление с помощью выражения у = 1 - х (проверь это !) . Теперь ясно, что последний график по-существу тождественен графику линейной функции у = 1 - х . Функция эта подобна функции f в интервале (-0.2 , 0.2), поскольку в нашей системе координат невозможно найти различие между двумя этими графиками.

В ходе последовательного увеличения масштаба координат мы видели,что с уменьшением окрестности график f все более уподобляется прямой линии. Это можно сделать более наглядным так : представим себе , что мы разглядываем шоссе с самолета. С большой высоты мы видим значительную часть дороги и замечаем многочисленные повороты. Приближаясь к ней мы видим меньшую часть дороги и ее траектория представляется более прямой. И маленький отрезок дороги с небольшой высоты выглядит очень похожим на прямую линию !

На Рис. 3.7 мы заново описываем три увеличения предыдущего примера с добавлением графика функции у = 1 - х. Маленький квадрат на чертеже увеличения в 10 раз соответствует фрагменту увеличения в 20 раз, как и самый маленький квадрат на чертеже увеличения в 5 раз . Средний квадрат на этом чертеже соответствует фрагменту увеличения в 10 раз. Выясняется, что сходство между f и линейной функцией уменьшается с уменьшением масштаба и увеличением рассматриваемой окрестности начала координат.

Зададим себе вопрос: действительно ли график любой функции в достаточно небольших окрестностях каждой точки подобен определенному отрезку прямой. Легко показать, что это не так.

Пример. Рассмотрим график функции g на Рис. 3.8. Для любого увеличения окрестностей точки х0 график функции будет представлять из себя две стороны

угла, а не отрезок прямой линии !

В этом разделе и далее мы увидим, что графики многих функций все-таки подобны отрезкам прямых линий в достаточно маленьких окрестностях. Начнем проверку этого утверждения с хорошо знакомых нам степенных функций.

 

3.2. Нахождение прямой линии близкой к графику функции х2 в точке х0 = 3

Мы ищем прямую линию очень близкую к графику функции у = х2 в достаточно маленьких окрестностях точки х0 = 3. Для этого начертим в окрестностях этой точки (2.98, 3.02) график функции. Сначала составим таблицу, которая будет включать также строку приближенных значений , вычисленных с точностью до трех первых цифр (это максимальная точность графических построений).

x

2.98

2.99

3.00

3.01

3.02

f(x) = x2

8.8804

8.9401

9.0000

9.0601

9.1204

Приближенное значение

8.88

8.94

9.00

9.06

9.12

Рис. 3.9(а,б)

Мы видим, что график функции у = х2 действительно очень похож на график отрезка прямой в окрестности (2.98, 3.02) точки х0 = 3. Чтобы найти уравнение этой прямой рассмотрим строку приближенных значений. Мы видим , что изменение значения х на 0.01 приводит к постоянному изменению на 0.06 приближенного значения f(x) (проверь!). Поэтому угловой коэффициент прямой будет 0.06/0.01 = 6(аргументируй!).

В то же время прямая проходит через точную точку (3, 9). Отсюда ее уравнение1 :

y - 9 = 6(x - 3) или у = 6х - 9

На рис. б видим график функции у = х2 и прямой линии в одной системе координат.

Обрати внимание : Масштаб на чертеже а. в 20 раз больше, чем на чертеже б.

Изучим теперь другой путь нахождения уравнения прямой - способ, который не нуждается в нахождении приближенных значений функции. Сначала, чтобы подчеркнуть, что мы находимся в небольшой окрестности точки х0 = 3, введем в рассмотрение новую переменную h, для которой действительно x = 3 + h (х - произвольная точка). Последнее равенство можно также записать h = x - 3 .

Поэтому h выражает2 расстояние точки х от точки х0 = 3. Так например, если х = 3.01, то h = 0.01, а если х = 2.98, то h = -0.02 и т.д.

Представим функцию f(x) = x2 в точке x = 3 + h ; получается

f(3 + h) = (3 + h)2 = 9 + 6h + h2

Выражение 9 + 6h + h2 составлено из двух слагаемых с разными свойствами : 6h + 9 есть линейная компонента(от h), а h2 есть слагаемое во второй степени(не линейное).

Удалим слагаемое h2 и получим линейную функцию у = 9 + 6h .

Если нужно представить значения новой функции от х, подставим х - 3 вместо h и получим y - 9 = 6(x - 3) или у = 6х - 9 .

Пришли к той же функции !

Перед нами линейная функция со следующими свойствами :

а.Ее значения очень близки к значениям функции f в небольших окрестностях точки х0 = 3 . Это благодаря тому, что разница h2 между двумя функциями в точках

близких к х0 = 3 (т.е. когда h мало) очень маленькая. Мы видим это из таблицы:

h

0.1

-0.05

0.02

0.003

0.001

h2

0.01

0.0025

0.0004

0.000009

0.000001

б. Из последней таблицы также видим , что чем h ближе к 0 , тем меньше значение h2. Иными словами : чем точка х ближе к х0 = 3, разница между функциями у = x2 и у = 6х - 9 становится все меньше.

в.На большом расстоянии от точки х0 = 3 значения двух функций не являются точно близкими, это можно видеть на чертеже б.(два графика далеки друг от друга на большом расстоянии от х0 = 3) . Из этого факта можно сделать вывод, что значения h2 возрастают с ростом h. Например, если h = 2, то h2 = 4, если h = 10, то h2 = 100 и т.д.

_________

1 Вспомни, что уравнение прямой линии с угловым коэффициентом m, проходящей через точку 0, у0), есть у - у0 = m(х - х0)

2 Отметим, что собственно расстояние всегда неотрицательно.

 

3.3. Нахождение прямой линии близкой к графику функции х2 в заданной точке х0

Пусть теперь на оси х задана точка х0 . Попытаемся найти прямую близкую к f(x) = x2 в точке х0 . Воспользуемся тем же способом, что и для точки х0 = 3. Теперь h есть новая переменная такая , что х = х0 + h (поэтому h = х - х0 ). Выразим значение f в точке х = х0 + h : f(x0+h) = х02 + 2х0h + h2 . Как и прежде опустим h2 и рассмотрим функцию с законом отображения у = х02 + 2х0h

Рис. 3.10

х0 есть некоторое число, и поэтому эта функция является линейной относительно переменной h. Но она также является линейной относительно х, ведь если подставить h = х - х0 , получим у = х02 + 2х0(x - x0) = 0x - х02 .

Обозначим через g последнюю функцию : g(x) = 0x - х02 . Напомним, что g(x) можно вычислять с помощью выражения х02 + 2х0h , где h = х - х0.

На последнем рисунке изображены в одной системе координат графики f и g. Имеют место следующие факты :

а. Оба графика проходят через точку 0 , х02). И действительно,